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Wie wählt man w, sodass die Richtungsableitung max

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Tags: Richtungsableitung, Richtungsvektor, Sonstig

 
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Bloop56

Bloop56

13:39 Uhr, 24.11.2022

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Hallo,

wie kann ich einen Richtungsvektor v so wählen, dass die Richtungsableitung einer Funktion f den ,,größten Wert" hat?

Ich weiß bereits, dass der größte Wert ||gradf(x0)||2 ist. Also muss mein Richtungsvektor in Richtung des Gradienten zeigen:

gradf(x0) ⋅v= ||gradf(x0)||2

Wie kann ich v jetzt wählen, dass das der Fall ist?
Oder reicht es einfach wenn der Richtungsvektor normiert ist?

Vielen dank schonmal im Voraus:-))

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
Punov

Punov aktiv_icon

14:06 Uhr, 24.11.2022

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Hallo, Bloop56,

wie du schon gesagt hast, ist die Länge ∥gradf(x0)∥ das Maximum aller Richtungsableitungen ∂hf(x0) nach den Einheitsvektoren, also

∥gradf(x0)∥=max{∂hf(x0):∥h∥=1}=:M.

Wenn M≠0, gibt es genau einen Einheitsvektor v mit ∂vf(x0)=M und mit diesem Vektor ist gradf(x0)=Mv. Also zeigt der Gradient die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion im Punkt x0 an.

Beantwortet das deine Frage?

Viele Grüße
Bloop56

Bloop56

14:12 Uhr, 24.11.2022

Antworten
Danke für die Antwort:-) Was ist M genau? Und wenn ich dann diesen Vektor konkret angeben müsste
wie würde ich diesen Vektor finden?
Bloop56

Bloop56

14:12 Uhr, 24.11.2022

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Danke für die Antwort:-) Was ist M genau? Und wenn ich dann diesen Vektor konkret angeben müsste
wie würde ich diesen Vektor finden?
Bloop56

Bloop56

14:12 Uhr, 24.11.2022

Antworten
Danke für die Antwort:-) Was ist M genau? Und wenn ich dann diesen Vektor konkret angeben müsste
wie würde ich diesen Vektor finden?
Bloop56

Bloop56

14:13 Uhr, 24.11.2022

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Sry wegen der mehrfach Antwort, weiß auch nicht wieso der das 3-Fach hochgestellt hat:/ Und hab jetzt erst das :=M gesehen:-)Also wäre nur noch meine Frage wie man diesen Vektor finden könnte:-)
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Punov

Punov aktiv_icon

14:37 Uhr, 24.11.2022

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Hallo,

M ist die Länge des Gradienten im Punkt x0, und das ist das Maximum aller Ableitungen von f im Punkt x0 in Richtung der Einheitsvektoren.

Wie gesagt, wenn das Maximum nicht verschwindet, dann gibt es genau einen Einheitsvektoren v für den das Maximum angenommen wird und gradf(x0)=Mv. Daraus kannst du das v bestimmen.

Beispiel: f(x,y)=x+y, dann ist der Gradient in jedem Punkt (1,1)⊤ und M=2. Dann ist der Einheitsvektor v=(1/2,1/2)⊤, d.h. der Gradient zeigt in die Richtung dieses Einheitsvektors und hat Länge 2.
Frage beantwortet
Bloop56

Bloop56

14:44 Uhr, 24.11.2022

Antworten
Danke für die Hilfe:-))