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Wie zeige ich, dass im(f) eine Untergruppe ist?

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, Untergruppe

 
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AlexD12

AlexD12 aktiv_icon

15:03 Uhr, 09.11.2015

Antworten
Hallo, ich komme bei einem Beispiel nicht weiter. Könnt ihr mir helfen?

Die Aufgabenstellung lautet:

Es seien G und H Gruppen, f:G→H ein Gruppenhomomorphismus,eH das neutrale Element in H. Zeigen Sie: Das Bild imf von f,
imf:=f(G) ={h∈H: Es gibt ein g∈G sodass f(g) =h};
ist eine Untergruppe von G.


Damit f(G) eine Untergruppe von G sein kann, muss f(G)⊆G und f(g) muss auch eine Gruppe sein. Dafür müssen dann Assoziativgesetz gelten, und f(G) muss ein Einselement und ein Inverses Element haben.

Ab hier komme ich nicht mehr weiter.

Danke für die Hilfe.
LG ALex

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

10:48 Uhr, 10.11.2015

Antworten
f(G) ist keine Untergruppe von G, sondern von H.
Zu zeigen ist das einfach:
1) eH=f(eG) nach Def. von Homom. => eH∈f(G).
2) a,b∈f(G) => ∃x,y mit f(x)=a,f(y)=b. Dann ab-1=f(x)(f(y))-1=f(x)f(y-1)=f(xy-1)∈f(G).
3) f(G)≠∅ - offensichtlich.
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