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Wie zeige ich einen Isomorphismus

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Tags: Gruppen, Isomophismus, isomorph, Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit, Ring, Vektorraum

anonymous

17:37 Uhr, 05.01.2016

Wie zeige ich, dass Aut

(F_{2}^{2})

isomorph zu

S_{3}

ist. Mir ist klar, dass ich den Homomorphismus zeigen muss, also:

f (A_{1}) = e,

f (A_{2}) = s_{1},

f (A_{3}) = S_{3},

f (A_{4}) = d,

f (A_{5}) = d^{2}

f (A_{6}) = s_{2}

.

Wie gehe ich vor, kann mir jemand vielleicht

f (A_{2}) = s_{1}

als Beispiel vorrechnen? Brauche dringend Hilfe. Vielen Dank im voraus!

LG DerPinguinagent

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

18:40 Uhr, 05.01.2016

Hallo,

ich muss bei den Bezeichnungen mutmaßen. Dabei kann eine Menge Unfug herauskommen (das kann es aber auch so). Insofern ist es aus meiner Sicht unerlässlich, einen Scan der Originalaufgabenstellung anzufügen.

Unabhängig von Bezeichnungen kannst du "einfach" eine Gruppentafel beider Gruppen angeben, aus der ersichtlich wird, dass nur die Bezeichner verändert wurden (Namen, Zeichen für die Verknüpfung).

Vielleicht ist die bekannt, dass die symetrischen Gruppen, und die

S_{3}

insbesondere, von der Transposition

σ := (1 2)

und einem maximalen Zyklus

τ := (1 2 \dots n)

erzeugt wird.
Wenn ja, erlaubt das die Verkürzung des Nachweises erheblich.

Außerdem kannst du dir natürlich unabhängig von den Bezeichnern überlegen, dass jeder Automorphismus einen Basiswechsel darstellt.
Ermittle alle Basen, zeige, dass jede Basis auf jede andere abgebildet werden kann. Das ist im wesentlichen ausreichend für den Nachweis.

Mfg Michael

Weblinks:
[1] de.wikipedia.org/wiki/Symmetrische_Gruppe#Erzeugende_Mengen

anonymous

18:45 Uhr, 05.01.2016

Sei

V

ein zweidimensionaler F2-Vektorraum.

a)

Bestimmen Sie die Anzahl der Basen von

V

b)

Beschreiben Sie die Gruppe AutF2

(V)

explizit durch Angabe einer Gruppentafel.

c)

Ist die Gruppe AutF2(V) isomorph zu einer Gruppe, die in den bisherigen Übungen behandelt wurde?

Meine Gruppe von

b) :

Die Tabelle geht horizontal von

A 1 - A 6

und vertikal von

A 1 - A 6

Zeile 1.

A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6

Zeile 2.

A 2, A 1, A 5, A 6, A 3, A 4

Zeile 3.

A 3, A 4, A 1, A 2, A 6, A 5

Zeile 4.

A 4, A 3, A 6, A 5, A 1, A 2

Zeile 5.

A 5, A 6, A 2, A 1, A 4, A 3

Zeile 6.

A 6, A 5, A 4, A 3, A 2, A 1

Soll das mit Homomorphismus zeigen!

Wäre das

z . B

. so richtig?

f (A_{1} \cdot A_{1}) = A_{1} \cdot A_{1} = A_{1} = A_{1} \cdot A_{1} = f (A_{1}) \cdot f (A_{1})

und

A_{1} = e

weiterhin:

f (A_{1} \cdot A_{2}) = A_{1} \cdot A_{2} = A_{2} = A_{1} \cdot A_{2} = f (A_{1}) \cdot f (A_{2})

A_{2} = s_{1}

oder liege ich da falsch? und das mache ich jetzt mit n-Mal oder?

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