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Wie zeigt man endliche Gruppe ist nicht einfach?

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: einfache gruppe, endliche Gruppe, Gruppen, Sylowsche Sätze

 
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tomy84

tomy84

10:04 Uhr, 29.05.2011

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Hallo,

also ich hab eine Gruppe der Ordnung 36 und soll zeigen, dass diese nicht einfach ist.

Ich hab folgenden Ansatz:

|G|=36=22+32

dann folgt s3∈{1,4}
und s2∈{1,3}

a) Ich beginne mit der 3-Sylow-Untergruppe und sage s3=1. Dann bin ich fertig, denn dann ist die 3-Sylow-Untergruppe ein Normalteiler der Gruppe und diese damit nicht einfach.

b) Annahme: s3<>1 also s3=4.
Dann verbrauchen die 4 3-Sylow-Untergruppen genau 4⋅(33-1)+1=29 Elemente ( 0 ist im Schnitt, ansonsten ist der Schnitt leer)
Es verbleiben also 7 Elemente, die auf die 2-Sylow-Untergruppen verteilt werden müssten. Die 2-Sylow_untergruppen haben im fall s2=1:3 Elemente und im Fall s2=3 genau 3⋅(3-1)=6 Elemente (das neutrale Element haben wir ja bei den andern 29 Elementen bereits mitgezählt).

Wie komm ich hier zum korrekten Schluss?
Sind bisher Fehler in der Argumentation?

Bitte um Hilfe?

gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
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Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

19:47 Uhr, 29.05.2011

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Hallo,

du gehst mir zu selbstverständlich davon aus, dass die p-Sylow-Untergruppen für p=3 nur das neutrale Element gemeinsam haben.
Damit steht und fällt aber deine Argumentation.

Gehen wir doch mal von tatsächlich vier 3-Sylowuntergruppen aus. (Im folgenden p=3.)
Als eine Folgerung gilt: Je zwei p-Sylowuntergruppen sind konjugiert.
Damit operiert die Gruppe G auf der Menge M der p-Sylowuntergruppen wie folgt: g⋅Up:=g-1Ug
Und: die Operation ist nicht trivial, soll heißen, es gibt tatsächlich Querabbildungen.
Wenn man sich nun M vereinfacht als M:={1,2,3,4} vorstellt, erhält man auf diese Weise einen Gruppenhomomorphismus φ:G→SM≃S4, der wegen ∣G∣=36>24=∣S4∣ nicht injektiv sein kann. Insbesondere ist N:=φ-1({id})≠{eG}, d.h. ein Normalteiler gefunden.

Mfg Michael
Frage beantwortet
tomy84

tomy84

11:04 Uhr, 02.06.2011

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Danke mal soweit.

ok, deine argumentation versteh ich, find ich aber ziemlich schwierig.

ich habe mir folgendes überlegt, wenn ich den Schnitt betrachte:

sei A und B zwei verschiedene 3-Sylows in G.

Dann folgt (aus |G|=36), dass |A geschnitten B|=3.

Und weil A und B abelsch ist der Schnitt ein Normalteiler sowohl von A als auch von B(⋅)

Nach einigem rumüberlegen und rechnen komm ich dann zum Schluss, dass dieser Schnitt ein normalteiler von G ist. ( das folgt ja eigentlich nicht direkt aus der aussage ⋅)

( So hab ichs dann auch abgegeben

Aber am wichtigsten (und ich glaube das hab ich damit verstanden, ist deine Hilfestellung gewesen, dass der Schnitt nicht leer ist)