Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wieso ergibt diese Stabilitätsabschätzung Sinn?

Wieso ergibt diese Stabilitätsabschätzung Sinn?

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, interpolation, MATH, Mathematik, Rekonstruktion von Funktionen, RKHS, Stabilität

xam193 aktiv_icon

02:31 Uhr, 24.12.2023

Hallo!

Es sei

K : Ω \times Ω \to ℝ

eine symmetrische positiv definite Funktion auf einem Gebiet

Ω \subseteq ℝ^{d}

für ein

d \geq 1

. Wir definieren den nativen Hilbertraum

H \equiv H (Ω, K) := \bar{s p a n {K (\cdot, x) ∣ x \in Ω}}

von

K

auf

Ω

. Wir möchten eine Funktion

f \in H

auf einer endlichen Punktemenge

X = {x_{1}, \dots, x_{n}} \subset Ω

rekonstruieren, d.h. wir suchen eine Funktion

s_{f}

, sodass

s (x_{j}) = f (x_{j})

für alle

1 \leq j \leq n

. Hierfür wählen wir den Ansatz

s_{f} = \sum_{j = 1}^{n} c_{j} K (\cdot, x_{j}), x_{j} \in Ω .

Das führt uns zu dem Rekonstruktionsraum

H_{X} \equiv H (X, K) := s p a n {K (\cdot, x_{j}) ∣ 1 \leq j \leq n} \subset H,

in welchem wir nach

s_{f}

suchen. Benutzt man aber die kanonische Basis

T := {K (\cdot, x_{j}) ∣ 1 \leq j \leq n}

des Rekonstruktionsraums

H_{X}

, so kommt es zu schlecht konditionierten Matrizen und somit zu Instabilitäten. Deswegen versucht man mit einer simplen Basistransformation alternative datenabhängige Basen

S = {s_{1}, \dots, s_{n}}

von

H_{X}

in diesem Kontext auf Stabilität zu untersuchen.

Wir haben also nun den Ansatz

s_{f} = \sum_{j = 1}^{n} c_{j} s_{j}

für die eindeutige Interpolante

s_{f} \in H_{X}

an eine Funktion

f \in H

. Wir schreiben von nun an

S (x) = (s_{1} (x), \dots, s_{n} (x))

für

x \in Ω

und

c = (c_{1}, \dots, c_{n})

für den reellen Koeffizientenvektor. Außerdem sei

G_{S}

die Gram-Matrix der Basis

S = {s_{1}, \dots, s_{n}}

bezüglich des Skalarproduktes

(\cdot, \cdot)_{H}

auf

H

(was ich jetzt hier nicht definiert habe, aber das ist erstmal egal).

Robert Schaback und Maryam Pazouki haben in gemeinsamen einem Artikel ( doi.org/10.1016/j.cam.2011.05.021 die Abschätzung

∣ s (x) ∣^{2} \leq K (x, x) \cdot ∥ f ∥_{H}^{2} \cdot {c o n d}_{2} (G_{S})

für alle

x \in Ω

bewiesen. Hier kann man z.B. sehen, dass die Schranke für Orthonormalbasen

S

minimiert wird.

Ich verstehe aber nicht, wieso das überhaupt Sinn ergibt. Also ich habe den Beweis vollständig verstanden, aber... Die Interpolante ist EINDEUTIG. Wie also diese Schranke von der Wahl der Basis abhängen...? Die Interpolante ist ja immer die gleiche, egal, bezüglich welcher Basis ich sie darstelle. Was ich verstehen könnte, wäre NUR den Koeffizientenvektor zu untersuchen, um Stabilitätsaussagen zumachen...

Irgendwie glaube ich, dass ich da ein kleines Verständnisproblem habe... Ich hoffe, jemand von euch kann mich vielleicht ein wenig aufklären. Danke und viele Grüße, Max.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1580270

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?