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Wieso ergibt sin(x) integriert 0?

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Analina aktiv_icon

00:11 Uhr, 24.01.2017

Guten Abend, ich stehe vor folgendem Verständnisproblem:

Bisher nahm ich an, dass, wenn man eine Funktion integriert, man den Flächeninhalt zwischen x-Achse und Graph ermittelt. Wenn man jetzt zB ein Intervall

a, b

hat und eine Funktion

f (x)

über diese Grenzen integriert (schreibt man das so?) und 0 raus kommt, heißt das doch, dass der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse in diesem Intervall

= 0

ist, oder? Anscheinend nicht, denn bei sinx kommt mit 0,2pi ja 0 raus. Wieso? Ist das mathematisch Korrekt? Heben sich die beiden Flächen dann einfach auf und man sagt, dass sie keinen Raum zwischen Graph und x-Achse hat?

Mir ist klar, dass man einmal die Fläche von 0 bis

π

hat und die gleiche nochmal von

π

bis

2 \cdot π,

bloß eben mit verschiedenem Vorzeichen, sodass es sich aufhebt. Aber ich dachte immer, dass man da einfach Betragsstriche setzt, damit da, in diesem Falle, nicht 0 rauskommt, sondern 2. Aber anscheinend kommt 0 raus.. (laut diversen Rechnern)

Btw: Es ging um eine Aufgabe die da lautet: Wenn Intervall

a, b

gegeben ist und

f (x) d x

über eben diesem Intervall integriert

= 0

ist, ist auch

f (x) = 0

? Da war meine Antwort Ja, aber ist ja anscheinend falsch.. Kann mich jemand aufklären?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

00:49 Uhr, 24.01.2017

Hallo
Wenn du dich noch erinnerst wie das Integral eingeführt wurde als Summe über Funktionswerte*\delta

x,

dann wüsstest du, dass flachen unterhalb der

x -

Achse negativ rauskommen. das integral berechnet NICHT den Flächeninhalt zwischen

x -

Achse und Funktion, sondern nur dann, wenn die Funktion nur oberhalb der

x -

Achse verläuft.wenn du

sin (x)

von 0 bis

2 π

integrierst, bekommst du den positiven Flächeninhalt von 0 bis

π

und den negativen von

π

bis

2 π,

da die vom Betrage her gleich sind also insgesamt 0.
Gruß ledum

Bummerang

09:37 Uhr, 24.01.2017

Hallo,

merke:

A = \int_{a}^{b} | f (x) | d x

und nur in den speziellen Fällen kann man auf die Betragszeichen verzichten, in denen

f (x) \geq 0

für alle

x \in [a; b]

.

Und so ist eben:

A = \int_{0}^{2 \cdot π} | sin (x) | d x = \int_{0}^{π} | sin (x) | d x + \int_{π}^{2 \cdot π} | sin (x) | d x = \int_{0}^{π} sin (x) d x + \int_{π}^{2 \cdot π} - sin (x) d x

= \int_{0}^{π} sin (x) d x - \int_{π}^{2 \cdot π} sin (x) d x = {[- cos (x)]}_{x = 0}^{x = π} - {[- cos (x)]}_{x = π}^{x = 2 \cdot π}

= [(- (- 1)) - (- 1)] - [(- 1) - (- (- 1))] = [1 + 1] - [- 1 - 1] = 2 - (- 2) = 2 + 2 = 4

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