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Wieviele Punkte bestimmen eine Hyperbel?
Universität / Fachhochschule
Tags: Hyperbel
 
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3 Punkte bestimmen einen Kreis. Wieviele bestimmen eine Hyperbel? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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5 Punkte |
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Jeder Kegelschnitt (Kurve zweiter Ordnung: Ellipse, Hyperbel, Parabel oder im pathologischen Fall ein Geradenpaar) ist . durch genau fünf Punkte eindeutig festgelegt. Jeder Kreis (als Spezialform der Ellipse) beinhaltet dieselben zwei besonderen Fernpunkte, die absoluten Kreispunkte. Diese sind natürlich nicht reell und haben konjugiert komplexe (homogene) Koordinaten. Wenn wir also einen Kreis festlegen wollen, sind diese beiden Punkte also fix dabei und wir dürfen nur noch drei weitere Punkte wählen. Deshalb ist der Kreis durch drei Punkte festgelegt. Ob fünf beliebig gewählte Punkte eine Ellipse, Parabel, Hyperbel oder Geradenpaar festlegen ist meist auf den ersten Blick nicht erkennbar und muss gesondert untersucht werden. Was die Unterscheidung von Ellipse, Parabel und Hyperbel in der euklidischen Ebene anlangt, so liegt deren Unterschied in ihrem Fernverhalten. Wird die Ferngerade (die Menge aller Fernpunkte der Ebene) nicht in zwei reellen sondern in komplexen Punkten geschnitten, dann handelt es sich um eine Ellipse, Wird diese Ferngerade in zwei verschiedenen reellen Punkten geschnitten, dann liegt eine Hyperbel vor. Und wenn diese beiden Schnittpunkte zusammenrücken, also wenn der Kegelschnitt die Ferngerade berührt, dann handelt es sich um eine Parabel. Ein schneidendes Geradenpaar ist dabei als degenerierte Hyperbel, ein paralleles Geradenpaar als degenerierte Parabel zu sehen. Eine Hyperbel ist also durch fünf Punkte festgelegt, wobei bei beliebiger Wahl dieser fünf Punkte aber nicht sichergestellt ist, dass es sich nicht vielleicht auch um eine Ellipse oder Parabel handelt. Will man eine Hyperbel forcieren, dann könnte man zB die Richtung der Asymptoten vorgeben (nicht die Asymptoten selbst!). Das würde de facto der Wahl der beiden reellen Fernpunkte entsprechen und man könnte die Hyperbel dann durch Wahl dreier weiterer Punkte festlegen. |
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Am leichtesten machst du dir klar: Für jede Unbekannte brauchst du eine Gleichung. eine Unbekannte ja, dann brauchst du eine Gleichung deinen Worten, ein 'Punkt') zwei Unbekannte ja, dann brauchst du zwei Gleichungen deinen Worten, zwei 'Punkte') drei Unbekannte ja, dann brauchst du drei Gleichungen deinen Worten, drei 'Punkte') … . … Jetzt wirst du dir (dann ggf. uns) klar machen müssen, welche Art von Hyperbel du im Sinn hast. Da gibt es je nach Sach-Zusammenhang wilde Möglichkeiten, Optionen, Sinnfältigkeiten und Ansätze. Nur mal als Beispiel Schulbeispiel: ein Parameter . eine Gleichung ("Punkt") Ansatz: die wäre eben in der Höhe variabel / anpassungsfähig. zwei Parameter . zwei Gleichungen ("Punkte") Ansatz: die wäre eben sowohl in Höhe als auch Polpunkt variabel / anpassungsfähig. drei Parameter . drei Gleichungen ("Punkte") Ansatz: drei Parameter . drei Gleichungen ("Punkte") Ansatz: die wäre auch noch im Potenzgrad (vielleicht "Krümmung") variabel / anpassungsfähig zwei Parameter . zwei Gleichungen ("Punkte") … . … Du wirst dir also schon noch am leichtesten tun, wenn du dir (und uns) noch klarer machst, welche Art von Hyperbel (bzw. Ansatz) du wirklich im Sinn hast. |
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> Ob fünf beliebig gewählte Punkte eine Ellipse, Parabel, Hyperbel oder Geradenpaar festlegen ist meist auf den ersten Blick nicht erkennbar und muss gesondert untersucht werden. Richtig - präzise gilt folgendes (Auszug aus de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitt ) : "Ein nicht ausgearteter Kegelschnitt (Ellipse, Hyperbel, Parabel) ist durch 5 Punkte, wobei keine 3 auf einer Gerade liegen, eindeutig bestimmt." Liegen umgekehrt drei oder mehr der fünf Punkte auf einer Geraden, dann handelt es sich weder um Ellipse, Hyperbel noch Parabel, und die fünf Punkte liegen sicher auf einem Geradenpaar. Dieses Geradenpaar ist allerdings nicht notwendig eindeutig bestimmt durch diese fünf Punkte - Beispiele: 1) Liegen vier Punkte auf einer Geraden, und der fünfte außerhalb, dann kann man durch jene vier Punkte die erste Gerade ziehen, während es für die zweite Gerade durch den fünften Punkt unendlich viele Möglichkeiten gibt (ein Freiheitsgrad für den Winkel). 2) Liegen sogar alle fünf Punkte auf einer Geraden, dann kann die zweite (an sich überflüssige) Gerade komplett frei in der Ebene gewählt werden (zwei Freiheitsgrade). Bezogen auf die allgemeine Kegelschnittgleichung ergibt sich durch Einsetzen der fünf Punkte entsprechend ein lineares Gleichungssystem für die sechs Variablen mit einem Maximalrang 5. |
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Vielen Dank an alle, die mir bisher geantwortet haben. Dass 5 Punkte erforderlich sind, hatte ich vermutet. Die mich beschäftigene Aufgabe . beigefügtes Bild) habe ich deshalb mittels Vektoren im Raum gelöst, denn in der Ebene sind nur 3 Punkte vorgegenen. Habt Ihr eine Idee, ob trotzdem eine über die Hyperbel (Schnitt einer Ebene mit den Schattenstrahlen der Sonne, die über den Tag auf einem Kegelmantel wandern) führende Lösung möglich ist, ein paar Freunde behaupten, aber beweisen es nicht. holdi Hoffentlich klappt es; das zugefügte Bild kann ich nämlich nicht sehen/kontrollieren  |
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