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Windungszahl

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Funktionentheorie

Tags: Funktionentheorie, Windungszahl

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HAlOO

HAlOO aktiv_icon

22:27 Uhr, 04.07.2019

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Hallo! Ich soll folgende Windungszahl berechnen:

w (a_{k}, z)

mit

a_{k} : [0, 2 π] \to ℂ, z \mapsto e^{i k t} .

Also, die Windungszahl ist ja durch das Integral

\frac{1}{2 π i} \int_{α} \frac{d ξ}{ξ - z}

gegeben. Wenn ich die Werte der Kurve dann in das Integral einsetze, erhalte ich ja dann

\frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π} \frac{1}{e^{i k t} - z} d t

und dann weiß ich nicht mehr weiter, da ich das z ja im Bruch stehen habe...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

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ermanus

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09:04 Uhr, 05.07.2019

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Hallo,
dein

α_{k}

gibt keinen Sinn, soll es nicht eher

t \mapsto z + e^{i k t}

heißen? Das entspräche dann einer

k

-fach durchlaufenen Kreislinie um den Kreismittelpunkt

z

.
Gruß ermanus

HAlOO

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09:11 Uhr, 05.07.2019

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Leider nicht, das a_k ist genau so gegeben, wie ich es geschrieben habe. Ich soll die windungszahl für alle z aus den komplexen Zahlen berechnen (einheitskreis ausgeschlossen)

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ermanus

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09:15 Uhr, 05.07.2019

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OK.
Dann ist aber

t \mapsto e^{i k t}

richtig und nicht

z \mapsto e^{i k t}

.

HAlOO

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09:42 Uhr, 05.07.2019

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ich habe meine Angabe genau abgeschrieben

Bildschirmfoto 2019-07-05 um 09.41.22

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ermanus

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09:50 Uhr, 05.07.2019

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OK. Du bist nicht schuld. Es ist ein Fehler des Aufgabenstellers.

HAlOO

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09:50 Uhr, 05.07.2019

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Also sollte es eigentlich heißen t bildet auf e^{ikt} ab oder?

Wenn ja, löst das trotzdem noch nicht mein Problem.

Antwort

ermanus

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10:12 Uhr, 05.07.2019

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Ja, so sollte es wohl heißen.
Es ist nun, wie du ja schon (fast) richtig begonnen hast:

\int_{α_{k}} \frac{d ζ}{ζ - z} = \int_{0}^{2 π} \frac{k i e^{i k t} d t}{e^{i k t} - z} .

Dein Zähler stimmte nicht, du hattest das Differential nicht umgerechnet:

ζ = ζ (t) = e^{i k t} \Rightarrow d ζ = i k e^{i k t} d t

.
Kommst du nun weiter?

HAlOO

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10:16 Uhr, 05.07.2019

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Ach ja, genau. Aber was mache ich mit dem z im Nenner? Das verstehe ich nicht ganz..

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ermanus

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10:44 Uhr, 05.07.2019

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Ich würde nun als Nächstes die Substitution

s = k t

vornehmen,
also

d s = k d t

:

\int = \int_{0}^{k \cdot 2 π} \frac{i e^{i s} d s}{e^{i s} - z} = \int_{0}^{2 π} \frac{i e^{i s} d s}{e^{i s} - z} + \dots + \int_{(k - 1) \cdot 2 π}^{k \cdot 2 π} \frac{i e^{i s} d s}{e^{i s} - z}

.
Diese

k

Teilintegrale liefern alle denselben Wert, da der Integrand die Periode

2 π

hat:

\int = k \cdot \int_{0}^{2 π} \frac{i e^{i s} d s}{e^{i s} - z}

.
Mit

ζ = e^{i s}

bekommen wir

\int = k \cdot \int_{S (0, 1)} \frac{d ζ}{ζ - z}

.
Wir betrachten nun das Integral

\int_{S (0, 1)} \frac{d ζ}{ζ - z}

.
Der Integralsatz von Cauchy sagt, dass dies

= 0

ist,
wenn

z

außerhalb von

S (0, 1)

liegt, da dann der Integrand
im Inneren des Einheitskreises holomorph ist (keine Pole).
Liegt

z

im Inneren von

S (0, 1)

dann sagt die Integralformel von Cauchy:

\int_{S (0, 1)} \frac{d ζ}{ζ - z} = 2 π i \cdot f (z)

, wobei in unserem Falle

f (z) = 1

ist.
Damit solltest du alles beisammenhaben.

HAlOO

HAlOO aktiv_icon

10:56 Uhr, 05.07.2019

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Okay, also ist die Windungszahl dann gleich 0, da z außerhalb des Einheitskreises liegt?

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ermanus

ermanus aktiv_icon

10:58 Uhr, 05.07.2019

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Ja, wenn

z

außerhalb des Einheitskreises liegt, windet der sich ja gar nicht um

z

herum ;-)

Frage beantwortet

HAlOO

HAlOO aktiv_icon

10:58 Uhr, 05.07.2019

Antworten

Vielen Dank!!

Frage beantwortet

HAlOO

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10:59 Uhr, 05.07.2019

Antworten

Vielen Dank!!

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