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Winkel der Tangente an einer Ellipse

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen, 13. Klassenstufe

Tags: Tangent, Winkelfunktion

FanaticC aktiv_icon

17:54 Uhr, 05.10.2010

Hallo zusammen,

ich habe eine Ellipse(im Allgemeinen)

(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1)

mit einem Punkt

(x, y)

worauf eine TANGENTE liegt und den 2 Brennspunkten

(B 1 = (- e,0) B 2 = (e,0)

)und soll die 2 Winkel α und β (bei

S 1

und

S 2)

berechnen und dadurch herausfinden ob sie gleich sind.

nur leider tu ich mir mit Geometrie sehr schwer, könnt mir das bitte wer vorrechnen (ich weis, soll man eigentlich nicht, aber ich kapiers sonst nie)

danke euch schonmal :-)))

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Mauthagoras aktiv_icon

19:34 Uhr, 05.10.2010

Hallo,

Es ist am leichtesten, die Ellipse als vektorwertige Funktion zu betrachten:

E (t) = (\begin{array}{c} a \cos t \\ b \sin t \end{array})

. Dann ist der jeweilige Tangentialvektor:

E ’ (t) = (\begin{array}{c} - a \sin t \\ b \cos t \end{array})

. Jetzt sollst Du also den Schnittwinkel berechnen zwischen diesem Vektor und dem Verbindungsvektor

\vec{B_{1} E (t)} = (\begin{array}{c} a \cos t + e \\ b \sin t \end{array})

bzw.

\vec{B_{2} E (t)} = (\begin{array}{c} a \cos t - e \\ b \sin t \end{array})

. Die Winkel sollen gleich sein, also wendest Du nun die Schnittwinkelformel für Vektoren an (

\cos α

...), setzt gleich und rechnest solange, bis eine wahre Aussage dasteht…

FanaticC aktiv_icon

20:29 Uhr, 05.10.2010

Hi,

danke für deine Antwort :-)

nur leider hab ich bis jetzt noch nie was von einer "Schnittwinkelformel" gehört, ich hab leider keine Ahnung wie das geht, ich hab schon google gefragt aber das half mir nicht wirklich.

MFG

Mauthagoras aktiv_icon

22:35 Uhr, 05.10.2010

Ich meine damit

\cos α = \frac{v \cdot w}{∣ v ∣ ∣ w ∣}

. Morgen schreibe ich das nochmal ausführlicher, mach Dir also keine Sorgen.

Mauthagoras aktiv_icon

09:30 Uhr, 06.10.2010

Wir bilden diesen Kosinus für die beiden betrachteten Winkel und setzen das Ganze gleich. Damit das auch formal stimmt und wir die beiden Winkel betrachten, die wir auch haben wollen, müssen die Vektoren durch Anpassung der Vorzeichen entsprechend gerichtet werden.

\frac{(\begin{array}{c} - a \cos t - e \\ - b \sin t \end{array}) (\begin{array}{c} - a \sin t \\ b \cos t \end{array})}{∥ (\begin{array}{c} - a \cos t - e \\ - b \sin t \end{array}) ∥ ∥ (\begin{array}{c} - a \sin t \\ b \cos t \end{array}) ∥} = \frac{(\begin{array}{c} - a \cos t + e \\ - b \sin t \end{array}) (\begin{array}{c} a \sin t \\ - b \cos t \end{array})}{∥ (\begin{array}{c} - a \cos t + e \\ - b \sin t \end{array}) ∥ ∥ (\begin{array}{c} a \sin t \\ - b \cos t \end{array}) ∥} \overset{}{\Leftrightarrow} \frac{(\begin{array}{c} - a \cos t - e \\ - b \sin t \end{array}) (\begin{array}{c} - a \sin t \\ b \cos t \end{array})}{∥ (\begin{array}{c} a \cos t + e \\ b \sin t \end{array}) ∥} = \frac{(\begin{array}{c} - a \cos t + e \\ - b \sin t \end{array}) (\begin{array}{c} a \sin t \\ - b \cos t \end{array})}{∥ (\begin{array}{c} - a \cos t + e \\ - b \sin t \end{array}) ∥}

Das muss, wie gesagt, so lange umgeformt werden, bis eine wahre Aussage entsteht.
Das sieht ganz schlimm aus, aber sollte funktionieren.

FanaticC aktiv_icon

13:08 Uhr, 08.10.2010

Danke dir, ist nun alles klae :-)

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