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Winkel im Quader; Analytische Geometrie

Schüler Gymnasium,

Tags: Analytische Geometrie, Aufgabe, Skalarprodukt, Vektor

anonymous

07:37 Uhr, 12.03.2016

Einen schönen guten Morgen,

die zu bearbeitende Aufgabe sende ich euch im Anhang.

Mein Ansatz lautet:

Beide Raumdiagonalen haben die gleiche Länge. Der Vektor

\vec{d}

beschreibt
eine solche Diagonale.

∣ \vec{d} ∣^{2} = \sqrt{4^{2} + 3^{2} + ∣ \vec{h} ∣^{2}} = \sqrt{25 + ∣ \vec{h} ∣^{2}}

Die beiden Raumdiagonalen sollen sich unter einem rechten Winkel schneiden.

\vec{d} \cdot \vec{d} = 0 \Rightarrow ∣ \vec{d} ∣ \cdot ∣ \vec{d} ∣ = 0 \Rightarrow \sqrt{25 + ∣ \vec{h} ∣^{2}} = 0 \Leftrightarrow ∣ \vec{h} ∣^{2} = - 25

Viele Grüße
Neymar

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Respon

08:41 Uhr, 12.03.2016

Es ergeben sich für die Raumdiagonalen folgende Richtungsvektoren:

\vec{v_{1}} = (\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ h \end{matrix})

und

\vec{v_{2}} = (\begin{matrix} - 3 \\ - 4 \\ h \end{matrix})

Das Skalarprodukt muss 0 sein.

(\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ h \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ - 4 \\ h \end{matrix}) = 9 - 16 + h^{2}

[= 0]

h = . .

maxsymca

08:45 Uhr, 12.03.2016

Hallo,

1. Raumdiagonalen eines Quader: plural - Du kannst Dich beispielhaft auf 2 konzentrieren. Als Vektoren betrachtet sind alle 4 gleich lang aber unterschiedlich in den Richtungen.
2. Wie begründest Du aus Skalarprodukt

= 0

folgt, das Produkt der Beträge, der Längen der Vektoren

= 0

Tipp: Bennen die Eckpunkte durch Punkte (mit möglichst vielen Nullen als Koordinaten)

mac

anonymous

09:14 Uhr, 12.03.2016

Hallo Respon und maxsymca,

jetzt verstehe ich, warum mein Ansatz nicht vielversprechend war ...
Danke euch beiden! :-)

Stephan4

09:26 Uhr, 12.03.2016

Die Raumdiagonalen sollen einander senkrecht schneiden. Das bedeutet, dass sie normal aufeinander stehen.

Sie stehen normal aufeinander, wenn sie die Diagonalen eines Quadrats sind.

Nun musst Du die Höhe des Quaders entsprechend wählen, da sie ja eine Seite dieses Quadrats ist. Die andere Seite ist die Diagonale des Grundflächen-Rechtecks.

Kommst Du damit weiter?

:-)

anonymous

09:29 Uhr, 12.03.2016

Moin Stephan4,

leider nicht ganz... :-)
Also ich habe auf jeden Fall Respons Ansatz verstanden.
Läuft deiner auf das Gleiche hinaus? Oder ist das eine andere Möglichkeit?

NeymarJunior

Stephan4

09:44 Uhr, 12.03.2016

Beides führt zu Berechnung der Höhe.

Respon bezieht sich auf Deinen Lösungsansatz.

Mein Lösungsansatz ist anders, einfacher, und schneller, da nur eine Zeile.

Bis wohin verstehst Du ihn?

:-)

Respon

09:55 Uhr, 12.03.2016

Zur anschaulichen Unterstützung der elementargeometrischen Überlegung.
Das rote Viereck muss ein Quadrat sein.

anonymous

10:01 Uhr, 12.03.2016

Ah okay, deshalb betrachten wir jetzt ein Quadrat (super Skizze, Respon!).

Bei folgendem Satz hapert es:

"Nun musst Du die Höhe des Quaders entsprechend wählen, da sie ja eine Seite dieses Quadrats ist. Die andere Seite ist die Diagonale des Grundflächen-Rechtecks."

Wieso ist die Höhe des Quaders eine Seite des Quadrats? Tut mir leid, ich sehe
es gerade nicht ... ;-)
Und meinst du die Diagonale des "Seiten-Rechtecks"? Oder weshalb des Grundflächen-Rechtecks?

Respon

10:08 Uhr, 12.03.2016

Nein, die Höhe des Quaders ist nicht die Seite des Quadrates.

Betrachte die Eigenschaften deiner Raumdiagonalen in deinem Beispiel:

1)

Die Diagonalen sind gleich lang

2)

Die Diagonalen schneiden einander

3)

Die Diagonalen halbieren einander

4)

Die Diagonalen bilden einen rechten Winkel ( nur in deinem Beispiel )

\Rightarrow

Das rote Viereck MUSS ein Quadrat sein.

...

.
Und jetzt berachte das rechtwinkelige Dreieck auf der linken Seite der Skizze ( im Schrägriss verzerrt dargestellt ) mit den Katheten 3 und

h

und der Hypotenuse 4.

\Rightarrow

die von Stephan4 angedeutete eine Zeile:

4^{2} = 3^{2} + h^{2}

h = . .

Stephan4

10:17 Uhr, 12.03.2016

Entschuldige, habe das falsch gesehen.

Die beiden eingezeichneten Raumdiagonalen gehen in der Bodenfläche von der selben Seite aus, so wie Respons Zeichnung deutlich zu sehen ist. Danke.

Mein Lösungsweg von vorhin passt daher nicht ganz.

In der Angabezkizze habe ich die Diagonalen von diagonal gegenüber liegenden Eckpunkten gesehen, also von unten links hinten nach oben rechts vorne.

Dann habe ich die Brille vergrößert, mein Bild aufgesetzt und die Verwechslung erkannt.

:-)

anonymous

10:20 Uhr, 12.03.2016

Jetzt habe ich es!! :-)

Tatsächlich, Stephan4, wenn man auf deine Idee kommt, dann ist sie ehrlich easy.

Herziches DANKE AN EUCH

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