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Winkel zwischen graden

Schüler

Tags: Betragsbildung, Schnittwinkel

schlabadu aktiv_icon

16:20 Uhr, 26.05.2012

Hallo

ich soll erklären warum man bei der Betragsbildung im Zähler der Kosinusfunktion sofort auf den Schnittwinkel

y

kommt! kann mir da jemand helfen?

Schnittwinkely: Winkel der durch 2 Graden im Raum gebildet wird und 90° nicht überschreitet.

Kosinusfunktion:

cos y = \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{| m_{1} | \cdot | m_{2} |}

Kosinusfunktion mit Betragsstrichen im Zähler:

cos y = \frac{| m_{1} \cdot m_{2} |}{| m_{1} | \cdot | m_{2} |}

ich hoffe meine frage ist verständlich
danke im voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

prodomo aktiv_icon

17:39 Uhr, 26.05.2012

Wird verständlich, wenn man stets den kleineren der beiden Winkel zwischen den Geraden als Schnittwinkel definiert, dessen

cos

ist nämlich immer positiv, der des größeren

(180

Grad minus dem kleineren) negativ, aber betragsgleich.

Shipwater aktiv_icon

17:47 Uhr, 26.05.2012

Vorab paar Hinweise: Es gilt

\vec{m_{1}}, \vec{m_{2}} \neq \vec{0}

α

sei der Winkel zwischen

\vec{m_{1}}

und

\vec{m_{2}}

und

φ

der Schnittwinkel der Geraden.
Zunächstmal meinst du wohl

cos (φ) = \frac{| \vec{m_{1}} \cdot \vec{m_{2}} |}{| \vec{m_{1}} | \cdot | \vec{m_{2}} |}

also kein "Plus" sondern ein "Mal" im Nenner.

a)

Für den Fall, dass

\vec{m_{1}} \cdot \vec{m_{2}} \geq 0

gilt, sind die Betragsstriche im Zähler nicht notwendig. Tatsächlich folgt daraus ja

| \vec{m_{1}} | \cdot | \vec{m_{2}} | \cdot cos (α) \geq 0

also

cos (α) \geq 0

. Das ergibt im Intervall

[0^{\circ} {,180}^{\circ}]

die Lösungen

0^{\circ} \leq α \leq 90^{\circ}

Gilt also

\vec{m_{1}} \cdot \vec{m_{2}} \geq 0

so schließen die Vektoren

\vec{m_{1}}

und

\vec{m_{2}}

einen Winkel

α

ein für den gilt

0^{\circ} \leq α \leq 90^{\circ}

. In diesem Fall entspricht der von

\vec{m_{1}}

und

\vec{m_{2}}

eingeschlossene Winkel bereits dem Schnittwinkel der Geraden.

b)

Spannend wird nun erst der Fall

\vec{m_{1}} \cdot \vec{m_{2}} < 0

. Hier folgt ja

cos (α) < 0

was im Intervall

[0^{\circ} {,180}^{\circ}]

die Lösungen

α > 90^{\circ}

hat. Gilt also

\vec{m_{1}} \cdot \vec{m_{2}} < 0

so schließen die Richtungsvektoren

\vec{m_{1}}

und

\vec{m_{2}}

einen Winkel

α > 90^{\circ}

ein. Als Schnittwinkel zweier Geraden definiert man aber den kleineren der zwei Winkel, die beim Schneiden der Geraden entstehen. Folglich gilt für den Schnittwinkel

φ

zweier Geraden immer

0^{\circ} \leq φ \leq 90^{\circ}

. Damit gilt hier

α \neq φ

also der von

\vec{m_{1}}

und

\vec{m_{2}}

eingeschlossene Winkel ist hier nicht gleich dem Schnittwinkel der Geraden. Tatsächlich gilt in diesem Fall die Beziehung

φ = 180^{\circ} - α

(das zeigt eine Skizze schnell).
So nun muss man sich überlegen warum man den richtigen Winkel bekommt, wenn man Betragsstriche in den Zähler setzt. Gilt

\vec{m_{1}} \cdot \vec{m_{2}} < 0

so gilt auch

\frac{\vec{m_{1}} \cdot \vec{m_{2}}}{| \vec{m_{1}} | \cdot | \vec{m_{2}} |} < 0

. Der Lösungswinkel

α

von

cos (α) = \frac{\vec{m_{1}} \cdot \vec{m_{2}}}{| \vec{m_{1}} | \cdot | \vec{m_{2}} |}

sei nun mal im Einheitskreis dargestellt:
Unbenannt

Jetzt setzt man die Betragszeichen in den Zähler und betrachtet den Lösungswinkel

φ

der Gleichung

cos (φ) = \frac{| \vec{m_{1}} \cdot \vec{m_{2}} |}{| \vec{m_{1}} | \cdot | \vec{m_{2}} |}

der im Einheitskreis dann so aussieht:
Unbenannt 2

Man erkennt das tatsächlich

φ = 180^{\circ} - α

gilt, also ist

φ

der gesuchte Winkel.

schlabadu aktiv_icon

17:47 Uhr, 26.05.2012

danke aber
woher weiß man das der

cos

für einen winkel unter 90° positiv sein muss? bzw. warum ist das so?

Shipwater aktiv_icon

17:59 Uhr, 26.05.2012

Schau dir doch den Kosinusgraphen an: upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/95/Cos_1to1.png

aleph-math aktiv_icon

00:30 Uhr, 27.05.2012

Tag!

"Warum muß d. Kosinus >0 sein? ..."
Das impliziert, daß man daran 'was ändern könnte, was nicht d. Fall ist. Der Kos. ist per Def. im Intervall 0..90 positiv; vgl. d. geometr. Def.

\cos = \frac{A n k a t h e t e}{H y p o t h e n u s e} .

D. urspr. Frage könnte man evtl. auch so beantw.: Wir haben gesehen, daß als "Schnittwi." d. kleinere, spitze (dh. 0..90) Winkel def. ist, dh. d. Kos. muß positiv sein. Genau das wird durch d. Betrag garantiert.

Weiter viel Spaß & ein schönes, langes WE!

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