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Winkelhalbierende Ebenen

Schüler Kolleg, 13. Klassenstufe

Tags: Analytische Geometrie, Hessesche Normalenform

GiantOpal aktiv_icon

17:57 Uhr, 03.12.2014

Hallo,
ich bräuchte da mal etwas Hilfe bei einer Aufgabe. Ich habe mir natürlich meine Gedanken gemacht und werde diese am Ende mal auflisten. Die Aufgabe soll in Form eines Kurzvortrags dargestellt werden. Daher wäre ich um relativ genaue Hilfe, die ich didaktisch gut verwerten könnte, sehr dankbar.

Nun die Aufgabe:

Die Ebenen

E_{1}

und

E_{2}

seien in Hessescher Normalenform gegeben:

E_{1}

(\vec{x} - \vec{p}) \circ \vec{m_{0}} = 0

E_{2}

(\vec{x} - \vec{q}) \circ \vec{n_{0}} = 0

Zeige, dass die Ebenen

W_{1}

(\vec{x} - \vec{p}) \circ \vec{m_{0}} - (\vec{x} - \vec{q}) \circ \vec{n_{0}} = 0

W_{2}

(\vec{x} - \vec{p}) \circ \vec{m_{0}} + (\vec{x} - \vec{q}) \circ \vec{n_{0}} = 0

die winkelhalbierenden Ebenen zu

E_{1}

und

E_{2}

sind, dass ihre Punkte also von

E_{1}

und

E_{2}

jeweils den gleichen Abstand haben.

Da wir also

E_{1}

und

E_{2}

in Hessescher Normalenform gegeben haben und man mit dieser ja ziemlich leicht den Abstand eines beliebigen Punktes berechnen kann (Betrag), liegt es natürlich nahe,

E_{1}

E_{2}

zu setzen. Das wurde ja quasi in

W_{1}

gemacht. Mir ist auch durchaus bewusst, dass es immer genau zwei winkelhalbierende Ebenen geben muss, sofern sich die beiden Ausgangsebenen schneiden. Jedoch frage ich mich, wie man dann bei

W_{2}

auf

E_{1}

= -

E_{2}

kommt. Ich habe gerade ziemliche Probleme mir das bildlich vorzustellen.
Ich habe halt nach bildlichen und mathematischen Herleitungen gesucht, aber leider nichts gefunden. Vielleicht kann mir jemand einen passenden Ansatz liefern und gegebenenfalls mit mir zusammen auf die Lösung kommen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene

rundblick aktiv_icon

19:59 Uhr, 03.12.2014

"
Probleme mir das bildlich vorzustellen. "

\to

es ist so:

wenn du die Koordinaten irgend eines
( nicht in einer Ebene

E

liegenden) Raumpunktes

P

in die HNF von

E

einsetzt, dann bekommst du nicht nur
die Information über den Abstand

d

von

P

E

sondern

\to

je nach dem, auf welcher Seite von

E

der Punkt

P

liegt -

auch noch ein schönes Vorzeichen mitgeliefert..->
(plus

\to P

liegt nicht auf derselben Seite von

E

wie der Ursprung)
(minus

\to P

und der Ursprung liegen auf derselben Seite von

E)

weil es für die beiden WinkelhalbierendenEbenen
nur auf den Betrag von

d

ankommt
wirst du genau deshalb die beiden Fälle ansetzen

\to

d_{1} = + d_{2}

und

d_{1} = - d_{2}

"bildlich" jetzt ok?
.

GiantOpal aktiv_icon

20:44 Uhr, 03.12.2014

Ja gut. Damit kann ich auf jeden Fall leben. Man erhält dadurch die Information, auf welcher Seite der Punkt liegt. Aber das würde wahrscheinlich nicht ausreichend erklären, wieso

W_{1}

und

W_{2}

die Winkelhalbierenden von

E_{1}

und

E_{2}

sind.

Ich habe die ganze Zeit den Drang, das über eine Schnittwinkelberechnung zu zeigen. Allerdings fühl ich mich dabei ebenfalls sehr überfordert. Irgendwie müsste man ja zeigen können, dass der Schnittwinkel der Winkelhalbierenden den Schnittwinkel der Ebenen teilt. Schnittwinkel berechnet man ja mit Skalarprodukt beider Normalenvektoren geteilt durch das Produkt der Beträge der Normalenvektoren. Und dann noch

c o s^{-} 1

. Jetzt stellt sich mir zum einen die Frage, ob das überhaupt einfach für Schüler darstellbar ist. Zum anderen, was genau dann die Normalenvektoren der Winkelhalbierenden Ebenen sind.

rundblick aktiv_icon

21:07 Uhr, 03.12.2014

.

du siehst da Probleme, wo gar keine sind

\to

nach Def. sind die WinkelhalbierendenEbenen

W

so festgelegt:

JEDER Punkt

P \in W

ist jeweils von

E_{1}

UND von

E_{2}

gleich weit entfernt ..

also : für alle

\to P \in W \Leftrightarrow | d_{1} | = | d_{2} |

also wenn

d_{1} = \pm d_{2}

dann

P \in W_{1}

bzw

P \in W_{2}

(

d

siehe oben aus den jeweiligen HNF)

ok?

GiantOpal aktiv_icon

21:21 Uhr, 03.12.2014

Ist das Ganze wirklich so einfach? Ich habe gedacht, dass ich aufgrund des Operators "Zeige" eine viel kompliziertere Vorgehensweise an den Tag legen müsste. Und die Tatsache, dass ich das als Kurzvortrag vorbereiten soll, gab mir auch das Gefühl, dass es etwas mehr sein sollte.

Aber wenn es wirklich nur das bischen da ist, wird es halt ein wirklich kurzer Kurzvortrag.

Danke schonmal!

ledum aktiv_icon

16:46 Uhr, 04.12.2014

Hallo
ich würde ausser de, Anstand zeigen, dass die Gleichung der Wh die Normalenwinkel halbiert. und damit auch die Winkel der Ebene
eine Wh zwischen gleichlangen Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

hat die Richtung
von

\vec{a} + \vec{b}

(Diagonale der Raute)
Gruß ledum

GiantOpal aktiv_icon

20:04 Uhr, 05.12.2014

Besteht die Möglichkeit, dass du mir das anhand einer Zeichnung zeigst?

rundblick aktiv_icon

20:43 Uhr, 06.12.2014

.
hm ..
ledum hat eine vermutlich brauchbare Idee in konfuse
Texte verpackt ..

Beispiele:

\to

"..Anstand zeigen,
dass die Gleichung der Wh die Normalenwinkel halbiert."

DAZU:

\to

.......eine

\to

Gleichung kann doch keinen

\to

Winkel halbieren .. ?!

oder:
".. und damit auch die Winkel der Ebene"
DAZU:

\to

\to

was hat denn die (welche?) Ebene für Winkel ??

usw

also, GiantOpal , warte nicht unnötig auf Klartext
und denke über die vielleicht vorhandene brauchbare Grundidee
mal selbst etwas nach :
"eine Wh zwischen gleichlangen Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

hat
die Richtung von

\vec{a} + \vec{b}

(Diagonale der Raute)"

.

GiantOpal aktiv_icon

09:47 Uhr, 07.12.2014

Im konkreten Fall würde das bedeuten, dass

\vec{m_{0}}

\vec{n_{0}}

und

\vec{m_{0}}

\vec{n_{0}}

die Normalenvektoren der Winkelhalbierenden sind, oder? Das würde der Aussage von ledum aber eher widersprechen, oder etwa nicht? Ein Normalenvektor ist ja nicht wirklich die Richtung einer Ebene. Oder vermisch ich da zwei Sachen, die nicht vermischt werden können?

Oder ist damit gemeint, dass von irgendeinem Punkt der Schnittgeraden die normierten Normalenvektoren addiert bzw. subtrahiert die Richtung der Winkelhalbierenden darstellen?

rundblick aktiv_icon

12:46 Uhr, 07.12.2014

"
.. irgendwelche Normalenvektoren der WinkelhalbierendenEBENEN sind, oder? "

. .

\to

JA

"
Ein Normalenvektor ist ja nicht wirklich die Richtung einer Ebene."

... \to

wie wahr !

\to

Normalenvektoren sind - wie der Name schon verspricht - "normal", dh senkrecht zur Ebene

Nun weisst du sicher, dass aus der Form der Ebenengleichung

\to

E : \to a x + b y + c z - d = 0

geschlossen werden kann dass der Vektor

\vec{n} = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})

ein möglicher Normalenvektor von

E

ist ..

\to

also sollte dir einleuchten, dass du mit oben erwähnten Normalen
schon mal sehr viel über die Gleichungen der W.-Ebenen kennst..

.. usw..<=>..wsu ..

ok?

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