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Winkeltreue Abbildungen

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Lineare Abbildungen

Skalarprodukte

Tags: Ähnlichkeitsabbildung, Lineare Abbildungen, Skalarprodukt, Winkeltreu

Lyla93 aktiv_icon

16:01 Uhr, 13.05.2013

(V,

δ

) ist euklidischer Vektorraum. g:V

\to

V (bijektive u. lineare Abbildung) heißt winkeltreu, wenn:

\frac{δ (g (a), g (b))}{∣ ∣ g (a) ∣ ∣ ∣ ∣ g (b) ∣ ∣} = \frac{δ (a, b)}{∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣}

für alle (von Null verschiedenen) Vektoren a,b

\in

V gilt.
g ist eine Ähnlichkeitsabbildung, wenn es ein

ρ = ρ_{g} > 0

gibt mit

∣ ∣ g (a) ∣ ∣ = ρ ∣ ∣ a ∣ ∣

.
Beweise die Äquivalenz der folgenden Aussagen für g:V

\to

V (Endomorphismus).
i) g ist winkeltreu
ii) Für a,b

\in

V folgt aus

δ (a, b) = 0

stets

δ (g (a), g (b)) = 0

.
iii) g ist Ähnlichkeitsabbildung

Ich glaube ich übersehe etwas, weil mir nicht mehr einfällt als folgendes:
i)

\Rightarrow

ii):
Ist g winkeltreu, so gilt

\frac{δ (g (a), g (b))}{∣ ∣ g (a) ∣ ∣ ∣ ∣ g (b) ∣ ∣} = \frac{δ (a, b)}{∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣}

. Ist jetzt

δ (a, b) = 0

folgt:

\frac{δ (g (a), g (b))}{∣ ∣ g (a) ∣ ∣ ∣ ∣ g (b) ∣ ∣} = \frac{0}{∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣} = 0

. Damit also gilt

\frac{δ (g (a), g (b))}{∣ ∣ g (a) ∣ ∣ ∣ ∣ g (b) ∣ ∣} = 0

muss

δ (g (a), g (b)) = 0

sein.

Hat jemand ein paar Tipps für die restlichen Beweise?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Lyla93 aktiv_icon

16:14 Uhr, 13.05.2013

Zu einem Punkt habe ich gerade noch eine Idee, komm aber nicht zum Ende:
iii)

\to

i):

\frac{δ (g (a), g (b))}{∣ ∣ g (a) ∣ ∣ ∣ ∣ g (b) ∣ ∣}

. Setzt man nun (da g Ähnlichkeitsabbildung)

∣ ∣ g (a) ∣ ∣ = ρ ∣ ∣ a ∣ ∣

folgt:

\frac{δ (g (a), g (b))}{ρ ∣ ∣ a ∣ ∣ ρ ∣ ∣ b ∣ ∣} = \frac{δ (g (a), g (b))}{ρ ² ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣}

. Aber ich weiß nicht, wie ich

δ (g (a), g (b)) = δ (a, b)

bringen soll.

pwmeyer aktiv_icon

19:25 Uhr, 13.05.2013

Hallo,

einiges klärt sich, wenn Du ausnutzt:

{| | g (a + b) | |}^{2} = {| | g (a) + g (b) | |}^{2} = ρ^{2} \cdot {| | a + b | |}^{2}

und die Normen mit dem Skalarprodukt ausdrückst.

Gruß pwm

Lyla93 aktiv_icon

09:08 Uhr, 14.05.2013

Hallo pwm,
danke für die schnelle Antwort, ich verstehe allerdings noch nicht ganz, wo ich das anwenden soll, ich habe doch nirgends a+b in diesem Zusammenhang stehen?

Gruß

pwmeyer aktiv_icon

15:03 Uhr, 14.05.2013

Wenn Du in meiner zweiten Gleichung links und rechts die Normen durch das Skalarprodukt ausrechnest, kannst Du eine Beziehung herleiten zwischen

δ (a, b)

und

δ (g (a), g (b))

.

Gruß pwm

Lyla93 aktiv_icon

22:25 Uhr, 14.05.2013

Tut mir leid wenn ich da jetzt so blöd nachfragen muss, aber wie rechne ich denn die Norm durch das Skalarprodukt aus?
Irgendwie steh ich auf dem Schlauch :(

Lyla93 aktiv_icon

22:25 Uhr, 14.05.2013

Tut mir leid wenn ich da jetzt so blöd nachfragen muss, aber wie rechne ich denn die Norm durch das Skalarprodukt aus?
Irgendwie steh ich auf dem Schlauch :(

pwmeyer aktiv_icon

08:42 Uhr, 15.05.2013

In einem euklidischen Vektorraum ist

| | x | | = \sqrt{δ (x, x)}

Gruß pwm

Lyla93 aktiv_icon

14:49 Uhr, 15.05.2013

Aaaah, vielen lieben Dank, jetzt wird so einiges klar!

Grüße.

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