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Wirtschaftsmathematik Problematik

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Erlös, Gewinn, Kostenfunktion, Partielle Differentialgleichungen, Wirtschaftsmathematik

jumpsuit412 aktiv_icon

21:25 Uhr, 11.07.2011

Hi Leute,

bin neu hier und habe bald eine Wirtschaftsmathe Prüfung vor mir.
Ich kam eigentlich ganz gut zurecht, hänge jetzt aber bei einer alten Klausur fest, klingt eigentlich ziemlich einfach, aber ich stehe grad wohl auf dem Schlauch!

Es geht um folgende Aufgabenstellung:

Die folgenden ökonomischen Funktionen sind vorgegeben:
Gewinnfunktion:

G (x) = - x^{3} + 6 x^{2} + 100 x - 640

(G=Gesamtgewinn,

x :

\prod

./abgesetzte Menge)

Erlösfunktion:

E (p) = 200 p - 0,1 p^{2} (p :

Marktpreis)

Nutzenfunktion

U (x 1, x 2) = 100 x 1^{0,7} \cdot x 2^{0,8} (x 1, x 2 > 0) (U :

Nutzenniveau,

x 1, x 2 :

nachfragte Mengen)

Sparfunktion

S (Y) = 0,4 Y - 600 (S :

Sparsumme,

Y :

Einkommen)

i)

Bei welcher produzierten/abgesetzten Menge ist der Erlös maximal?
ii) Bei welcher produzierten Menge operiert die Unternehmung mit minimalen Grenzkosten?
iii) Bei welchem Marktpreis wird der Stückdeckungsbeitrag maximal?

Also das wäre ein Teil der Aufgabe..
Ich komm grad einfach nicht darauf, wie ich von

E (p)

auf

E (x)

oder auch

K (x)

komme.
Hoffe ihr könnt mir helfen und danke im voraus!

C.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DmitriJakov aktiv_icon

21:42 Uhr, 11.07.2011

Ich verstehe jetzt ehrlich gesagt nicht was die Angaben zur Nutzen- und Sparfunktion in dieser Aufgabe sollen.

Auch die Erlösfunktion ist jetzt nur vom Preis abhängig und nicht von der verkauften Menge.

Die einzige Funktion, die jetzt einigermassen normal aussieht ist die Gewinnfunktion. Allein mit dieser kann man die Aufgabe

i)

beantworten, also das Maximum von

G (x)

bestimmen.

Aufgabe ii und iii würde ich mal mit diesen merkwürdigen Angaben auf den ersten Blick für nicht lösbar halten.

Woher hast Du denn diese merkwürdige Aufgabe?

jumpsuit412 aktiv_icon

21:50 Uhr, 11.07.2011

Hey,

ich hab besser mal nen Screenshot von der genauen Aufgabenstellung gemacht,
war mal eine Testklausur oder sowas in der Art.
Vielleicht hab ich beim Abtippen Angaben vergessen, die wichtig sind, aber schau selbst:

DmitriJakov aktiv_icon

22:45 Uhr, 11.07.2011

Also ich habe jetzt hier mal folgende Transformation gemacht:
Es gilt: Erlös

\div

Menge = Preis
Also gilt auch:

\frac{E (p)}{x} = p

Diesen Zusammenhang nutze ich nun, indem ich

p

durch

E (p)

ersetze:

E (p) = 200 \cdot \frac{E (p)}{x} - 0,1 \cdot {(\frac{E (p)}{x})}^{2} | \div E (p)

1 = 200 \cdot \frac{1}{x} - \frac{E (p)}{x^{2}}

Nun wird für

E (p)

der Funktionszusammenhang eingesetzt:

1 = 200 \cdot \frac{1}{x} - \frac{200 p - 0,1 p^{2}}{x^{2}}

Nach einigen Umformungen habe ich dann:

- 0,01 p^{2} + 20 p - (200 x - x^{2}) = 0

Dies lässt sich mit der Mitternachtsformel lösen und ich erhalte schliesslich:

p 1 = 1000 - 10 x + 1000

p 2 = 1000 - 10 x - 1000

Kann sein, dass ich mich auf dem Weg dorthin ein wenig verrechnet habe, aber das wäre mein Lösungsweg, den ich vorschlage.

jumpsuit412 aktiv_icon

22:56 Uhr, 11.07.2011

Hey!

Danke Dir schonmal, Deine ersten Sätze haben mich definitiv schonmal weitergebracht,
die Zusammenhänge umzustellen, habe ich nicht dran gedacht, vielleicht schon einfach zu spät fürs nachrechnen.

Allerdings komm ich noch nicht ganz hinterher, wie mir das nun weiterhilft, die Erlösfunktion in Abhängigkeit von

x 1, x 2

zu finden, sodass ich diese maximieren kann?

Anbei noch die Lösung für die ersten Teilaufgaben, auf die ich leider noch nicht komme.
Tut mir leid, brauch grad wohl mehr Starthilfe ;-)

DmitriJakov aktiv_icon

23:09 Uhr, 11.07.2011

Nun, ich habe jetzt mal für die Lösung

p 1 = - 10 x + 2000

die Erlöse gerechnet und sie stimmen mit

E (p)

überein.

E (p) = 200 p - 0,1 p^{2}

wird maximal

100000

bei

p = 1000

. Daher muss im Erlösmaximum die Menge gleich

100

sein.

Setze ich in

p (x) = - 10 x + 2000

für

x

den Wert

100

ein, so erhalte ich einen Preis von

1000

E (p)

wird Null an der Stelle

p = 2000

. Das ist der Prohibitivpreis, also

x = 0

Setze ich in

p (x) = - 10 x + 2000

für

x

den Wert 0 ein, so erhalte ich einen Preis von

2000

Es sind also 2 Punkte bestätigt. Die Preis-Absatz-Funktion lautet also:

p (x) = - 10 x + 2000

Daraus lässt sich die Erlösfunktion

E (x) = p (x) \cdot x

bilden:

E (x) = - 10 x^{2} + 2000 x

Dieses

E (x)

subtrahierst Du nun von

G (x)

und erhältst die Kostenfunktion

K (x)

.

Der Rest ist dann Kindergarten :-D)

Wenn Du nochmal eine Rückfrage hast, wie ich auf

p (x) = - 10 x + 2000

gekommen bin, dann melde Dich ruhig. Ich musste da auch ein wenig rumrechnen bis ich es hatte.

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