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Wochentag in 3^31 Tagen

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie

shiroxx aktiv_icon

23:17 Uhr, 19.11.2020

Guten Abend,

ich beschäftige mich mit folgender Aufgabe und wollte fragen, ob ihr mir vielleicht ein Tipp geben könnt.

Wenn heute Montag ist, welchen Wochentag haben wir dann in

3^{31}

Tagen?

Ich hätte jetzt gedacht, dass ich

3^{31} m o d 7

rechne und dafür eventuell die Potenz geschickt aufteile?

Oder kann ich dafür auch den Satz von Euler nutzen?

Ich danke euch schon mal :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

23:20 Uhr, 19.11.2020

Naja,

3^{3} = 27 \equiv - 1 mod 7

sollte doch schon mal ein guter Kandidat zur Rechnungsvereinfachung sein. Euler-Fermat geht natürlich auch.

shiroxx aktiv_icon

23:41 Uhr, 19.11.2020

Danke für deine Antwort. Ich habe es jetzt recht kleinschrittig aufgeteilt, aber mache mal mit deinem Vorschlag weiter. Also ist dann

3^{31} \equiv 3^{3} * 3^{28} \equiv - 1 * 3^{28} \equiv - 1 * (3^{3})^{9} \equiv - 1 * (- 1)^{9} = 1

Ist das so richtig?
Hatte mit meinem weg was anderes raus

shiroxx aktiv_icon

23:45 Uhr, 19.11.2020

Da hatte ich

3^{31} \equiv 3^{30} + 3 \equiv (3^{3})^{10} * 3 \equiv (- 1)^{10} * 3 \equiv 3

shiroxx aktiv_icon

00:08 Uhr, 20.11.2020

Zusätzlich würde mich noch interessieren, wie ich die Aufgabe mit Euler lösen könnte. Kannst Du mir da vielleicht auch einen Tipp geben?:-)

supporter aktiv_icon

07:14 Uhr, 20.11.2020

Am Rande:

3^{31}

Tage

= 1,7 \cdot 10^{12}

Jahre

= 1,7

Billionen Jahre

Nach dieser Zeit wird es längst keine Tage auf der Erde mehr geben.
Bis dahin hat die Erde längst ihren letzten Ruheort in weißen Zwerg Sonne
gefunden.
Der dann noch existierende Kosmos wird kaum noch fragen, welcher Wochentag
gerade ist.
Als praktisches Beispiel für modulo also etwas seltsam. :-)

michaL aktiv_icon

07:49 Uhr, 20.11.2020

Hallo,

Euler-Fermat besagt:

a^{φ (n)} \equiv 1

mod

n

(für

a, n \in ℕ

mit ggT

(a, n) = 1

n = 7

a = 3 \Rightarrow 1 \equiv 3^{φ (7)} = 3^{6}

mod 7.
Mit

31 = 1 + 6 \cdot 5

3^{31} = 3^{1 + 6 \cdot 5} = 3 \cdot {(3^{6})}^{5} \equiv 3 \cdot 1^{5} = 3

mod 7

Mfg Michael

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