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Woher weiß ich ob diese Funktion ungleich 0 ist?

Schüler , 11. Klassenstufe

Tags: f(x), Funktion, Hinreichende Bedingungen, ungleich

Greeneco aktiv_icon

19:19 Uhr, 28.11.2012

Hi,

ich habe gerade die Hinreichende Bedingung $(f'' (x)$ ungleich 0 und $f' (x)$ gleich $0)$ für eine Funktion gemacht, weiß jetzt jedoch nicht wie ich zeigen kann, wenn ich den $x$ Wert in die zweite Ableitung einsetzte, dass es ungleich 0 ist. Eingesetzt steht bei mir:

$f'' (x) = e^{- t \cdot ({\sqrt{\frac{0,5}{t}}}^{2})} \cdot ((40 \cdot t^{2} \cdot {(\sqrt{\frac{0,5}{t}})}^{3} - 60 \cdot t \cdot (\sqrt{\frac{0,5}{t}}))$

Ich weiß das für $e^{- t \cdot ({\sqrt{\frac{0,5}{t}}}^{2})}$ ungleich 0 für alle $x$ gilt, aber wie zeige ich, dass $((40 \cdot t^{2} \cdot {(\sqrt{\frac{0,5}{t}})}^{3} - 60 \cdot t \cdot (\sqrt{\frac{0,5}{t}}))$ ungleich 0 ist und ob es positiv oder negativ ist?

Vielen Dank für Eure Hilfe. :-)

Mfg
Constantin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Greeneco aktiv_icon

19:31 Uhr, 28.11.2012

Vereinfact ist das glaub ich:

Für alle $e^{- t \cdot ({\sqrt{\frac{0,5}{t}}}^{2})}$ ungleich 0 für alle $x,$ also kann wenn nur $40 \cdot t^{2} \cdot {(\sqrt{\frac{0,5}{t}})}^{3} - 60 \cdot t (\sqrt{\frac{0,5}{t}})$ gleich 0 sein.

$(\sqrt{\frac{0,5}{t}}) = (40 \cdot t^{2} \cdot {(\sqrt{\frac{0,5}{t}})}^{2} - 60 \cdot t)$

KalleMarx aktiv_icon

21:20 Uhr, 28.11.2012

Moin Greeneco!

Zunächstmal: Du meinst anscheinend die hinreichende Bedingung für Extremstellen. Es gibt nämlich auch andere hinreichende Bedingungen.

Die Formulierung Deiner zweiten Zeile in Deinem zweiten Post ist in mehrfacher Hinsicht nicht korrekt.

Zunächst hast Du sowohl im ersten Post in der zweiten Zeile als auch im zweiten Post nur einen Term und keine Gleichung. Du darfst also den Term nicht verändern: Es darf weder etwas weggelassen noch hinzugefügt werden. Ausschließlich kürzen und erweitern ist erlaubt.

Wenn Du nur nachweisen sollst, daß der Term ungleich Null ist, empfiehlt es sich der Einfachheit halber, den Term gleich Null zu setzen und auf eine falsche Aussage zu kommen. Andernfalls müsstest Du den Wert des Terms wirklich berechnen bzw. diesen weitestgehend vereinfachen.

Nehmen wir mal an, Du sollst nur zeigen, daß $f ´ ´ (x) \neq 0$ . Dann setzt Du also Deine zweite Ableitung gleich Null. Ich schreibe die Wurzeln mal ohne den hässlichen Dezimalbruch im Zähler und fasse überflüssige Potenzen gleich mit Wurzeln zusammen (man muss es sich doch nicht umständlicher machen, als nötig):
$0 = e^{- \frac{1}{2}} \cdot (40 t^{2} \cdot {\sqrt{\frac{1}{2 t}}}^{3} - 60 t \cdot \sqrt{\frac{1}{2 t}})$

Die rechte Seite ist offensichtlich ein Produkt und ein Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Jeder Faktor wird also einzeln und nacheinander gleich Null gesetzt. Man schreibt das als Fallunterscheidung (je ein Fall für einen Faktor):
1. Fall: $e^{- \frac{1}{2}} \neq 0$ ,
da exponentielle Terme mit reeller Basis per Defintion nicht Null werden können.
2. Fall: $40 t^{2} \cdot {\sqrt{\frac{1}{2 t}}}^{3} - 60 t \cdot \sqrt{\frac{1}{2 t}} = 0$
Wir klammern $20 t \sqrt{\frac{1}{2 t}}$ aus:
$20 t \sqrt{\frac{1}{2 t}} \cdot (2 t \cdot {\sqrt{\frac{1}{2 t}}}^{2} - 3) = 0$
Wir haben wiederum ein Produkt. Die Fallunterscheidung spare ich mir mal - für eine korrekte Schreibweise ist die aber erforderlich. Wir sehen sofort, daß der erste Faktor mit $t \neq 0$ nicht Null werden kann. Es verbleibt also:
$2 t \cdot {\sqrt{\frac{1}{2 t}}}^{2} - 3 = 0$
$\frac{2 t}{2 t} - 3 = 0$
$- 2 = 0$ .
Dies ist offensichtlich eine falsche Aussage - q.e.d.

Zwei Bemerkungen:
1. Du hast in Deinem Ausgangsterm entweder vor der $40 t^{2}$ eine Klammer zuviel, oder der Term sieht ganz anders aus.
2. Schreibe solche Dinge nicht umständlich auf, sondern vereinfache soweit wie möglich und das vor allem so schnell wie möglich. Deine Schreibweise bietet potentielle Fehlerquellen zu Hauf und ist darüber hinaus noch extrem unübersichtlich.

Gruß - Kalle.

Fazz79 aktiv_icon

21:28 Uhr, 28.11.2012

Hallo Greeneco!

Kannst du bitte mal die Funktionsgleichung $f (x) = . . .$ hinschreiben. Danke

Greeneco aktiv_icon

20:30 Uhr, 30.11.2012

Vielen Dank. :-)
Die Funktionsgleichung hieß $f (x) = 10 \cdot x \cdot e^{- t \cdot x^{2}}$

Meine Lehrerin hat mir das nun auch nochmal erklärt.

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