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Woher weiß ich welche formel ich brauche

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: artihmetische reihe, Artithmetisch folge

TweetySweety aktiv_icon

17:19 Uhr, 03.11.2013

Hallo Leute..brauch ganz dringend hilfe..hatte sehr lang kein Mathe mehr gehabt und jetzt hab ich ziemliche Probleme

: (

Also es geht um arithmetische folgen und reihen.

Z . B

. " In einem Kino hat die erste Sitzreihe

10

Plätze, die zweite

12,

die dritte

14

usw.

a)

Wie viele Sitzplätze hat das Kino, wenn

15

Sitzreihen aufgebaut sind?

b)

Wie viele Reihen muss das Kino haben, wenn mindestens

250

Besucher Platz finden sollen?

Jetzt zur meiner Frage..woher merkt man welche Formel man dafür benötigt ? Ich komme da einfach von selbst nicht drauf

: (

Danke im Vorraus

LG, Tweety

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

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17:24 Uhr, 03.11.2013

de.wikipedia.org/wiki/Arithmetische_Reihe

TweetySweety aktiv_icon

17:31 Uhr, 03.11.2013

und wie kann ich jetzt rausfinden welche dieser formeln ich anwenden soll?

\frac{:}{}

Hab die Allgemeine Summenformel benutzt aber kriege da

180

raus...?? Müsste aber

360

rauskommen..woher merkt man dass man es dann nochmal

\cdot 2

nehmen muss?

Christian09 aktiv_icon

00:12 Uhr, 05.11.2013

Eine arithmetische Folge erkennst du daran, dass sie immer die gleiche Differenz zwischen Folgegliedern aufweist.

Bei dir also

2,

welches dein

d

ist. Also

d = 2

Für die arithmetische Folge gilt ganz allgemein

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

Da du die Anfangsreihe (die erste) kennst mit

a_{1} = 10

und mit

d = 2

die Differenz der Folgeglieder, kannst du all deine Reihen berechnen.

a_{n} = 10 + (n - 1) \cdot 2

Für die

15

Reihe ergibt dies?

a_{15} = 10 + (15 - 1) \cdot 2

naja und jetzt musst du noch abschätzen und ausprobieren und du bekommst deine Lösung für

b)

raus oder die Gleichung aufstellen

250 = 10 + (n - 1) \cdot 2

\Rightarrow 240 = (n - 1) \cdot 2

\Rightarrow 120 = n - 1

\Rightarrow 121 = n

Probe:

a_{121} = 10 + (121 - 1) \cdot 2 = 250

Das ganze heißt übrigens deshalb arithmetische Reihe, weil das gesuchte Glied der Reihe das arithmetische Mittel der Nachbarglieder ist. Macht auch Sinn, weil du wie in deinem Beispiel

z . B

2

in die eine und

2

in die andere Richtung gehst. Dies gilt auch bei 3er, 4er, 5er..., n-te Schritte

5 - 8 - 11

Wobei

\frac{5 + 11}{2} = 8

TweetySweety aktiv_icon

22:45 Uhr, 05.11.2013

Vielen dank für die antwort jedoch kriege ich immernoch nicht "360" raus

: (

Also unser Prof. hat diese Formel hier angewendet ∑=(n+1)*(ao+n

\frac{d}{2}) = (14 + 1) \cdot (10 + 14 \frac{2}{2}) = 15 \cdot 24 = 360

Plätze

..jedoch habe ich keine ahnung wie er dazu gekommen ist und wie man merkt welche formel man dafür braucht...

Christian09 aktiv_icon

01:06 Uhr, 09.11.2013

360 = 10 + (n - 1) \cdot 2

\Rightarrow 350 = (n - 1) \cdot 2

\Rightarrow 175 = n - 1

\Rightarrow 176 = n

Christian09 aktiv_icon

01:41 Uhr, 09.11.2013

360 = 10 + (n - 1) \cdot 2

\Rightarrow 350 = (n - 1) \cdot 2

\Rightarrow 175 = n - 1

\Rightarrow 176 = n

10

Plätze sind also vorgegeben - da du eine Reihe hast mit diesen zehn, ziehst du sie auch wieder ab. Daher

n - 1

. Und 2 mal dann, weil, ja warum eigentlich:

setz für

n = 1

ein. Das bezeichnet die erste Reihe. Da diese bereits

10

Plätze hat und dort

+ 10

steht, kommen

2 \cdot 0

Plätze hinzu.

setze nun aber

n = 2

ein und damit hast du dann eine zweite Reihe hinzubekommen.

10 + 2

Plätze. Ups - und jetzt merke ich meinen Fehler. Das besagt mir nur, dass ich in der zweiten Reihe

12

Plätze habe. Hätte mir aber auch komisch vorkommen dürfen. Naja, wenn mans in aller Eile macht. Aber so versteht man dann wenigstens den Zusammenhang besser ;-)

Wir brauchen ja die Summe von der ersten und zweiten Reihe:

also

s_{1} = \sum (a_{i})

(heisst so viel wie jedes Ergebnis einer Reihe wird summiert)

\Rightarrow s_{1} = \sum_{i = 2}^{n} (10 + (n_{i} - 1) \cdot 2)

Das habe ich bei 2 starten lassen, weil die erste, bekannte Reihe bereits dabei ist.

So würde ich mir das erstmal vorstellen. Nun gucke ich mir mal die Lösung deines Profs an.

Christian09 aktiv_icon

02:04 Uhr, 09.11.2013

Also irgendwie kann das nicht richtig sein:

∑=(n+1)*(a_o

+ n

d/2)=(14+1)⋅(10+1422)=15⋅24=360 Plätze

a_{0}

ist ja seine erste Reihe. Also setzen wir

n = 1

für die zweite Reihe.

(1 + 1) \cdot (10 + 1 \frac{2}{2}) = 2 \cdot 12 = 24

Plätze. Und das ist falsch.

Die erste Reihe sind

10

Plätze und die zweite Reihe

12

. Macht also bei zwei Reihen

22

Plätze und nicht

24!

Christian09 aktiv_icon

02:24 Uhr, 09.11.2013

Die richtige Formel ist vielmehr:

\frac{n}{2} \cdot (2 \cdot a_{1} + (n - 1) \cdot d)

a_{1} = 10

d = 2

Testen wir mal für

n = 3 -

also die dritte Reihe.

\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 10 + (3 - 1) \cdot 2)

\Rightarrow \frac{3}{2} \cdot (20 + 4)

\Rightarrow 36

10 + 12 + 14 = 36

Plätze. Stimmt also.

Jetzt müssen wir nur noch gucken, wie sich diese Formel ergibt. Die Summenformel ist aber auch richtig! Ist aber natürlich mühselig. Und bei deiner Aufgabe könntest dann direkt alles einzeln addieren, was anderes steht dort auch nicht, lediglich für eine beliebige Anzahl von Reihen ;-)!

Christian09 aktiv_icon

02:40 Uhr, 09.11.2013

ok, ich glaube ich habs ;-)

du hast

s_{n} = a_{1} + a_{2} + ... . . a_{n} = \frac{n (a 1 + a_{n})}{2}

Das gilt ganz allgemein. Damit findest du

z . B

. die Summe aller Zahlen von

1 (a_{1})

bis

100 (a_{2})

.
Das gilt nach Gauss. Gauß´sche Summenformel. Google die bitte.

nun ist in deiner Formel ab

a_{1} = 10

und dein

a_{n} = a_{1} +

(n-1)⋅d

Das setzen wir in die Formel mal ein.

\frac{n \cdot (a_{1} + a_{1} + (n - 1) \cdot d)}{2}

\Rightarrow \frac{n \cdot (2 \cdot a_{1} + (n - 1) \cdot d)}{2}

\Rightarrow \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 10 + (n - 1) \cdot 2)

Wobei

n

deine Reihe ist.

Damit kannst du jetzt die Platzanzahl des Kinos berechnen bei angegebenen Reihenzahlen. Das was ich da als erstes ausgerechnet hatte waren die Sitze für die x-te Reihe ;-) - peinlich ;-)! Gut das ich nochmal reingeschaut habe.

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