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Wohldef. vertreterweise Skalarmult. und Addition

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Äquivalenzklassen, Vektorraum, Wohldefiniertheit

ririri aktiv_icon

16:32 Uhr, 29.11.2018

Voraussetzung:
Seien

K

ein Körper,

V

ein

K

-Vektorraum und

U \subset V

ein Unterraum. Außerdem definiere eine Relation

\sim

durch

a \sim b : \overset{}{\Leftrightarrow} a - b \in U

.

Seien

a, b \in V

und

λ \in K

beliebig. Definiere die Addition

[a] + [b] := [a + b]

und die Skalarmultiplikation

λ \cdot [a] := [λ \cdot a]

.

Behauptung:
(ii).(a) Addition und Skalarmultiplikation sind wohldefiniert.

Bemerkung:
Aus Aufgabenteil (i) folgt bereits, dass

\sim

Äquivalenzrelation ist.

Meinen Versuch an einem Beweis habe ich als Bild angehängt. Wäre nett, wenn mir jemand sagen kann, ob die Struktur stimmt und ob (3.2) und (3.3) stimmen und wenn ja, wie ich auf die fehlenden Schritte komme.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

17:29 Uhr, 29.11.2018

Hallo,

scheint mit soweit alles richtig. Zur Klarstellung braucht es nur den Hinweis auf die Abgeschlossenheit von

U

bezüglich der Addition und skalaren Multiplikation., also

z . B

a - a' \in U \Rightarrow λ \cdot (a - a') \in U \Rightarrow λ \cdot a - λ \cdot a' \in U

Noch ein Hinweis: Du brauchst hier nur die "=>"-Richtung. Die Umkehrung wäre allgemein falsch wegen

λ = 0

.

Gruß pwm

ririri aktiv_icon

18:03 Uhr, 29.11.2018

Vielen Dank!

Ich denke so passt es dann.

Wie ist allerdings die Abgeschlossenheit begründet? Ich dachte diese beweise ich implizit mit der Wohldefiniertheit?

pwmeyer aktiv_icon

18:15 Uhr, 29.11.2018

Hallo,

"Wie ist allerdings die Abgeschlossenheit begründet?"

Das gehört doch zur Definition eines Untervektorraums, dass er für sich genommen ein Vektorraum ist, also Addition und skalare Multiplikation innerhalb von

U

wohldefiniert sind.

Gruß pwm

ririri aktiv_icon

18:21 Uhr, 29.11.2018

Ich glaube ich habe da einen Dreher. Versuche ich nicht, genau diese Wohldefiniertheit von

+ = : +_{U}

und

\cdot = : \cdot_{U}

zu beweisen?

Kann es sein, dass ich mit der Wohldefiniertheit von

+_{V}

und

\cdot_{V}

die Wohldefiniertheit von

+_{U}

und

\cdot_{U}

zeigen soll?

ririri aktiv_icon

18:30 Uhr, 29.11.2018

Ich glaube ich hab es jetzt.

Ich sollte

+ = : +_{{V / \sim}}

und

\cdot = : \cdot_{{V / \sim}}

sind wohldef. mit

+_{U}

und

\cdot_{U}

zeigen.

Stimmt das so?

pwmeyer aktiv_icon

18:34 Uhr, 29.11.2018

Jetzt verstehe ich Dich nicht mehr.

Schreib doch mal Eure Definition von Unterraum hierhin, oder warte bis jemand anders hier weiter macht

Gruß pwm

ririri aktiv_icon

18:59 Uhr, 29.11.2018

Ich glaube ich habe es verstanden. Ich war mir nur nicht sicher, für welche Menge die Operationen

[a] + [b]

und

[a] \cdot [b]

eigentlich definiert waren und habe deswegen fälschlicherweise angenommen, dass ich die Wohldefiniertheit für den Unterraum nachweisen muss. Wenn ich es richtig verstanden habe, muss man Wohldefiniertheit des Unterraums allerdings für den Beweis voraussetzen, denn sonst darf man

a, b \in U \overset{}{\Rightarrow} a + b \in U

nicht folgern.

Jedenfalls danke für die Hilfe!

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Der Vollständigkeit halber, falls doch noch jmdm. was auffällt:

\underline{D e f . :}

Sei

V

ein Vektorraum über

F

. Eine nichtleere Teilmenge

W \subset V

, so dass für alle

a, b \in W

und alle

λ, μ \in F

auch

λ a + μ b \in W

gilt, heißt

U n t e r r a u m

von

V

.

Mit

λ = μ = 1_{F}

gilt damit Abgeschl. bez. Addition und mit

μ = 0_{F}

Abgeschl. bez. Multiplikation.

ririri aktiv_icon

02:43 Uhr, 01.12.2018

Danke nochmal

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