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Wohldefinierte Abbildung

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Relationen

Tags: Abbildung, Relation., Wohldefiniert

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15:25 Uhr, 13.12.2020

Hallo,

ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe:
Sei

ℤ := ℕ \times ℕ / ~

Zeigen Sie, dass es eine Wohldefinierte Abbildung

⋆ : ℤ \times ℤ \to ℤ

gibt, die eindeutig durch die folgenden Eigenschaften bestimmt ist:
1. Für

m, n \in ℕ

gilt

m ⋆ n = m n

2. Für

x, y, z \in ℤ

gilt

x ⋆ (y + z) = x ⋆ y + x ⋆ z

Hinweis: Für die Eindeutigkeit zeigen Sie, dass aus 2. folgt

m ⋆ (- n) = (m n)

folgt, für

m, n \in ℕ

. Hierzu betrachten Sie

m ⋆ (n - n)

Nun war mein Ansatz ersteinmal zu zeigen, dass 1. und 2. immer gelten. Leider bin ich bei 1. gescheitert, weil ich keinen gescheiten Ansatz gefunden habe, weil es ja eigentlich vom Grundwissen her klar ist. Bei 2. habe ich folgendes:
Induktion:
Es soll gelten

x ⋆ (y + z) = x ⋆ y + x ⋆ z

Für

x = 0

0 ⋆ (y + z) = 0 = (0 ⋆ y) + (0 ⋆ z)

x \to x + 1

(x + 1) ⋆ (y + z) = (x ⋆ (y + z)) + (y + z)

= (x ⋆ y + x ⋆ z) + (y + z) = ((x ⋆ y) + y) + ((x ⋆ z) + z)

= (y ⋆ (x + 1)) + (z ⋆ (x + 1))

Die Aussage ist also meines Erachtens dadurch bewiesen. Allerdings leuchtet es mir noch nicht ein, warum das ganze dadurch eine wohldefinierte Abbildung ist und warum der Hinweis die Eindeutigkeit belegen soll.

Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich wäre über Tipps sehr dankbar.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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15:32 Uhr, 13.12.2020

Wohldefiniertheit bedeutet in diesem Fall Unabhängigkeit von den Rerpäsentanten aus der Äquivalenzklasse.
Wobei es natürlich nicht schaden würde, wenn du uns mitteilst, welche Äquivalenz gemeint ist.

Torra aktiv_icon

15:40 Uhr, 13.12.2020

Ehrlichgesagt weiß ich das auch nicht zu

100 %,

da es in der AUfgabe selbst nicht steht um was es sich genau handelt. Ich selbst vermute, dass es darum geht:

ℤ := ℕ \times ℕ

ℕ \times ℕ

wird die Relation

(a, b) ~ (c, d) \Leftrightarrow a + d = c + b

und damit im Zusammenhang, dass jede ganze Zahl a auch als

(a, 0)

(mit Strich drüber) dargestellt werden kann

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15:47 Uhr, 13.12.2020

Das sieht danach aus.
Dann musst du z.B. Folgendes zeigen: wenn

(n, m) \sim (n_{1}, m_{1})

und

(a, b) \sim (a_{1}, b_{1})

, dann

(n, m) * (a, b) = (n_{1}, m_{1}) * (a_{1}, b_{1})

*

ist selbst so definiert, dass

(n, 0) * (a, 0) = (a n, 0)

und

(n, 0) * ((a, 0) + (b, 0)) = (n (a + b), 0)

.

Es ist keine schöne Aufgabe, da musst du kämfpen.

Torra aktiv_icon

15:52 Uhr, 13.12.2020

Vielen Dank für den Hinweis, dann weiß ich schonmal was ich überhaupt zeigen soll. Also kann ich das bisherige quasi alles streichen und muss nochmal von ganz neu anfangen?
Warum ist es durch die Aussagen denn eindeutig wohldefiniert?

DrBoogie aktiv_icon

15:56 Uhr, 13.12.2020

Du musst zuerst mal überhaupt die Operation auf allen ganzen Zahlen definieren.
Ganze Zahlen sind jetzt als Paare wie