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Wohlordnungsprinzip
Schüler Ausbildungsstätte,
Tags: Wohlordnungsprinzip
 
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Hi, ich habe eine Frage zum Beweis des Wohlordnungsprinzips, bzw. generell zum Wohlordnungsprinzip. Dieses besagt ja, dass jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Element besitzt. In dem Buch was ich habe steht nun folgende Anmerkung dazu: "Der Leser wird hier [...] eine eigentümliche Hemmung verspüren, die davon herrührt, dass er die Beweisnotwendigkeit der angeführten Aussage (noch) nicht einsieht." Und das ist genau meine Frage. Wieso ist es notwendig dieses zu beweisen? In dem Buch wird der Beweis so geführt, dass angenommen wird die wäre nicht in enthalten, weil sie ja sonst das kleinste Element sein würde und führt dies zu einem Widerspruch. Also die Notwendigkeit eines Beweises für "irgendwelche" nichtleeren Mengen natürlicher Zahlen sehe ich ja schon ein, aber irgendwie verstehe ich nicht, dass man dafür nun die Menge der natürlichen Zahlen her nimmt und dann annimmt die 1 wäre nicht darin enthalten. Ich mein die 1 ist ja allein schon durch Definition der Peano-Axiome verbürgt und aus einer falschen Annahme (1 ist nicht Element der natürlichen Zahlen) folgt ja immer etwas wahres. Vielen Dank im voraus. Mfg Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Betrachte die Menge . Dies ist eine endliche nicht leere Menge natürlicher Zahlen. Leicht zu erkennen ist, dass sie ein kleinsten Element enthält, nämlich die 2. Somit existieren Beispiele für den Satz, er ist also richtig. Im Beweis wird nun angenommen, dass 1 nicht in der Menge liegt, über 1 wissen wir, dass 1 die kleinste nat. Zahl ist, es wird also angenommen, es gäbe kein kleinstes Element. Diese Aussage wird zum Widerspruch geführt, wodurch der Satz bewiesen ist. Noch fragen? |
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Hallo, "Somit existieren Beispiele für den Satz, er ist also richtig." Wenn das stimmen würde, wozu dann noch den Beweis? Korrekt wäre: "Somit existieren Beispiele für den Satz, er ist also nicht immer falsch." EDIT: "Im Beweis wird nun angenommen, dass 1 nicht in der Menge liegt" Da der Beweis hier nicht vorliegt, ist das eine reine Vermutung, allerdings eine, von der nicht glaube, dass sie stimmt. Ich denke, dass die Annahme in etwa so lautet: Angenommen es gibt eine endliche Menge natürlicher Zahlen, die kein kleinstes Element enthält. Dann könnte gefolgert sein: Dann enthält diese Menge auch nicht die die das kleinste Elemente der Menge der natürlichen Zahlen ist und in jeder Teilmenge, in der sie enthalten ist, auch das kleinste Element ist. Dann könnte dies zu einem Widerspruch geführt werden, indem man zeigt, dass unter dieser Annahme, dass kein kleinstes Element enthalten ist, die 1 doch in der endlichen Teilmenge ohne kleinstem Element enthalten sein muss. |
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Meine Frage ist nicht wieso dieser Satz richtig ist, sondern wieso es notwendig ist dies zu beweisen und man gerade so vorgeht, dass man annimmt 1 wäre nicht in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten. Mal abgesehen davon: Super, du hast ein Beispiel genannt. Dadurch ist der Satz bewiesen .... Nicht wirklich ein schlagkräftiges Argument... |
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@Bummerang: Damit könntest du durchaus recht haben und ich habe lediglich die Notation in dem Buch falsch verstanden. Dort wird die Menge mit N (fettgedruckt) bezeichnet, was in dem Buch normalerweise die Menge der natürlichen Zahlen meint. Vielleicht in diesem Zusammenhang nicht, da zum Beispiel in dem Buch bei den Induktionsmengen auch N (fettgedruckt) benutzt wird und eben nicht die Menge der natürlichen Zahlen repräsentieren soll. Hier der Beweis: Zum Beweis nehmen wir an, dass die nichtleere Menge kein Minimum besitzt. Dann kann 1 nicht in M liegen. Also ist 1<m für alle , und somit gehört 1 zu der Menge . Ist nun k ein beliebiges Element von K, so gilt gewiss , weil andernfalls für ein gewisses wäre, dieses also zwischen k und k+1 läge und das ist wegen Satz 6.2 (Zwischen den natürlichen Zahlen n und n+1 liegt keine weitere natürliche Zahl.) unmöglich. Da aber M kein Minimum besitzen sollte, muss dann für ausnahmslos alle sogar k+1<m sein, und das bedeutet, dass (mit k auch) k+1 zu K gehört. Insgesamt hat sich K somit als Induktionsmenge erwiesen, also ist nach dem Induktionsprinzip K=N. Greift man nun irgendein m aus M heraus - das ist möglich, weil M nicht leer ist -, so liegt m notwendigerweise auch in K?N und muss somit der unmöglichen Ungleichung m<m genügen. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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