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LULU12345678910

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14:10 Uhr, 27.07.2021

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Wir werfen einen Würfel 100 Mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens dafür, dass die Anzahl der Würfe mit 6 um weniger als 90% vom Erwartungswert abweicht? Geben Sie das Ergebnis als Bruch an
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HAL9000

HAL9000

14:53 Uhr, 27.07.2021

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> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit MINDESTENS dafür, dass die Anzahl der Würfe mit 6 um weniger als 90% vom Erwartungswert abweicht?

Das MINDESTENS stört mich ein wenig, denn eigentlich kann man diese Wahrscheinlichkeit exakt ausrechnen, was allerdings mit einem gewissen Aufwand verbunden ist. Hier ist womöglich gemeint, dass man die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyscheff nach unten abschätzt. D.h., es geht mit Zufallsgröße

X ... Anzahl Sechsen bei 100 Würfen

um die Wahrscheinlichkeit (∣X-E(X)∣<0.9⋅E(X)). Mit Tschebyscheff ergibt das


P(∣X-E(X)∣<0.9⋅E(X))=1-P(∣X-E(X)∣≥0.9⋅E(X))≥1-V(X)(0.9⋅E(X))2


Nun ist X∼B(100,16), von dieser Binomialverteilung solltest du die Kenngrößen Erwartungswert E(X) und Varianz V(X) bestimmen können.



P.S.: Die exakte Wahrscheinlichkeit ist übrigens gemäß der o.g. Binomialverteilung X∼B(100,16)

P(∣X-E(X)∣<0.9⋅E(X))=P(0.1⋅E(X)<X<1.9⋅E(X))=P(53<X<953)=P(2≤X≤31)≈0.999876

Die Tschebyscheff-Abschätzung ist daher (wie so oft) ziemlich schlecht. Aber Tschebyscheff ist ja auch weniger ein Approximations- als viel mehr ein Beweismittel. ;-)
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