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Würfel Problem
Universität / Fachhochschule
Binomialkoeffizienten
Kombinatorische Optimierung
Tags: Binomialkoeffizient, drehen, Farben, Kombinatorische Optimierung, Würfel
 
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Hallo zusammen, muss am Dienstag ein Übungsblatt abgeben und habe zu einer kleinen Teilaufgabe noch ein paar Fragen!!! Thorsten will einen Würfel mit den sechs Farben rot, grün, blau, lila, gelb und orange anmalen: auf jeder Fläche eine andere Farbe. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Beach-ten Sie hierbei, dass Würfel gedreht werden können! Thorsten will einen zweiten Würfel so anmalen, dass zwei Flächen rot, zwei Flächen blau und zwei Flächen grün sind. Wie viele Möglichkeiten hat er dafür? Bestimmen Sie mit einer Fallunterscheidung die Anzahl der Möglichkeiten, einen Würfel so anzumalen, dass die drei Farben rot, gelb und blau mindestens einmal ver-wendet werden. Bei der ersten Aufgabe dachte ich, dass man ja einfach rechnen kann und danach durch 3 teilt (da man den Würfel ja drehen kann). Kann mir jmd helfen? Komme echt nicht weiter. Danke schonmal, Julia Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Flächenmessung Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen Raummessung Volumen und Oberfläche eines Prismas |
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(a) durch irgendwas ist im Prinzip richtig. Allerdings muss man die volle Drehgruppe des Würfels nehmen, die Elemente hat: Man kann den Würfel auf eine von 6 Flächen stellen und dann noch eine von 4 Flächen nach vorne drehen, also hat diese Drehgruppe Elemente (tatsächlich können die vier Raumdiagonalen des Würfels beliebig vertauscht werden, woraus sich ebenfalls ergibt). Somit gibt es Färbungen. ist nach Methode wie bei etwas schwieriger zu zählen. Man müsste zu jeder Färbung überlegen, wie symmetrisch sie ist . Leichter geht es so: 1. Entweder sind gleichfarbige Flächen immer einander gegenüber. Das geht nur auf eine Weise: Man kann immer auf rot stellen und blau nach vorne drehen oben rot, hinten blau, links und rechts grün. 2. Oder gleichfarbige Flächen sind einander immer benachbart. Das geht auf zwei Weisen: Wenn man rot unten und vorne haben will,hat man noch eine Wahl den Würfel zu kippen; durch diese kann man sicherstellen, dass links blau ist. Bei einer Färbung ist blau hinten (und rechts und oben grün), bei der anderen ist blau oben (und recht und hinten grün) 3. Oder ein Farbpaar ist gegenüber, die anderen benachbart. Zunächst hat man drei Farben zur Wahl, welche gegenüberliegend sein soll. Danach ist aber alles destgelegt, denn wenn man den Würfel auf die ausgezeichnete Farbe stellt, kann man immer so drehen, dass die Lieblingsfarbe unter den anderen beiden vorne und links ist (und die dritte Farbe rechts und hinten). In Isgesamt haben wir Färbungen. Jetzt geht's ins Detail. 1. Jede Farbe genau 2mal. Das gibt 6 Färbungen wie bei . 2. Eine Farbe 1mal, eine 2mal, eine 3mal. Zunächst kann man die Farben auf Arten auf die Anzahlen 1mal/2mal/3mal aufteilen. Dann gibt es folgende Varianten, wenn man den Würfel auf die seltene 1-Farbe stellt: Oben ist die 2-Farbe. Dann ist der Rest festgelegt (man kann immer die andee Seite in 2-farbe nach vorne drehen) Oben ist die 3-Farbe und die beiden 2-Farber sind benachbart Oben ist die 3-Farbe und die beiden 2-Farber sind gegenüber Insgesamt macht dies Möglichkeiten 3. Zwei Farben 1mal, eine 4mal. Es gibt 3 Möglichkeiten die 4-Farbe auszuwählen. Danach sind die beiden seltenen Farben entwede benachbart oder gegenüber. Macht Möglichkeiten. Insgesamt: |
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Super, Dankeschön :-) Kann ich alles gut nachvollziehen :-) |
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