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Münze, Wahrscheinlichkeit

Schüler Gymnasium,

Tags: Klein AUfgabe, Wahrscheinlichkeit

veriina aktiv_icon

15:54 Uhr, 10.08.2013

Hallo,

also ich übe momentan ein bisschen zum Thema Wahrscheinlichkeit und bin bei der Aufgabe stehen geblieben.

Eine Münze lässt man viermal werfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass man zweimal Kopf und zweimal Zahl erhält?

Anschließend lässt man die münze nochmals werfen. Diesmal aber sechsmal. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass man dreimal Kopf und dreimal Zahl erhät

?

Also die Wahrscheinlichkeit bei 2 aus 4 hab ich noch hinbekommen

: \frac{3}{8} = 37,5 %

Aber bei 3 aus 6 komme ich nicht voran..??
Wie bekomme ich es da heraus. einen Baumdiagramm zu zeichnen ist auch nicht mehr so übersichtlich.
Denn nehmen wir mal an dass ich daraufhin

20

mal die Münze --also

10

aus

20 .

.

Kann mir da vielleicht bitte jemand weiterhelfen?

:]

LG

verii

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

16:00 Uhr, 10.08.2013

Hallo Verina !

Die Baumdiagramme sind meiner Ansicht nach oft irreführend. Man kann mit ihnen nur einfachste Aufgaben rechnen, sie werden schnell unübersichtlich und man kann sich auch in den Bäumen verrechnen.

Es ist daher besser, anders an solche Aufgaben heranzugehen, nämlich durch Methoden, bei denen man keinen Baum braucht. Und die gibt es, werden von den Lehrkräften in den Schulen aber komischerweise oft nicht unterrichtet.

Ich überlege mir, wir man Deine Aufgabe ohne Baumdiagramm lösen kann.

Einen Augenblick bitte.

Gruß Matze

anonymous

16:11 Uhr, 10.08.2013

Ich zeige Dir jetzt einen Weg ohne Baum, der zuverlässig funktioniert, einfach ist, aber oft trainiert werden muss:

Also:

Deine Wahrscheinlichkeit berechnet sich aus dem Quotienten: Günstige Fälle durch mögliche Fälle. Einverstanden ?

Wir berechnen zuerst die Anzahl der möglichen Fälle: Die Münze hat Kopf oder Zahl, also zwei Werte, die sie bei einem Wurf zeigen kann. Da Du die Münze vier mal wirfst, ist die Zahl der möglichen Ergebnisse 2 hoch

4,

also insgesamt

16

Diese

16

Fälle sind alle die Fälle, die auftreten können. Also zum Beispiel

Z Z Z Z

Z Z Z K

Z Z K K

Z K K

K...usw

(Z

steht für Zahl,

K

für Kopf ).

Du weißt jetzt also immerhin schon mal mit wenig Rechenaufwand, das es

16

Ergebnisse überhaupt geben kann.

Im zweiten Schritt berechnest Du jetzt die Zahl der günstigen Fälle, also der Fälle, die Du willst. Und das sind die, bei denen zwei mal Kopf und logischerweise dann auch zweimal Zahl gefallen ist.

Das berechnet man mit dem Binomialkoeffizienten

n

über

k!

n

ist dabei 4 und

k

ist 2

Wie man

n

über

k

berechnet, weißt Du, oder ? Falls nicht, zeige ich Dir die Formel.

n

über

k,

in diesem Fall 4 über 2 liefert dann die Zahl 6.

Und jetzt erinnern wir uns wieder an die Formel vom Anfang: Da haben wir gesagt, die Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen. In diese setzen wir die beiden Werte ein:

Also

6 : 16 = 3 : 8

Ganz einfach.

Und so machst Du es mit den

20

Würfen auch....es ist bei solchen Aufagebn immer das gleiche und man muss keinen Baum zeichnen

!!!

Gruß Matze

veriina aktiv_icon

16:11 Uhr, 10.08.2013

Hallo Matze,

danke im Voraus!

LG

verii

veriina aktiv_icon

16:14 Uhr, 10.08.2013

Hallo Matze

:],

erstmal vielen Dank für deine Mühe!

Und leider weiß ich nichts über

n

über

k,

wäre nett wenn Du mir da vielleicht weiterhelfen könntest!

LG

verii

anonymous

16:15 Uhr, 10.08.2013

Kennst Du das Pascalsche Dreieck ?

veriina aktiv_icon

16:16 Uhr, 10.08.2013

Leider auch nein

: S

anonymous

16:26 Uhr, 10.08.2013

O . K

. Das ist nicht weiter tragisch, hilft aber die Formel zu verstehen, die wir brauchen, wenn wir die "günstigen" Fälle berechnen wollen.

Ich empfehle Dir, mal bei Gelegenheit das Pascalsche Dreieck anzuschauen und dabei wirst Du dann auch dem sogenannten

n

über

k

begegnen, das wir brauchen. Dadurch dass Du das Pascalsche Dreieck nicht kennst, kann ich Dir die Formel nicht so erklären, dass Du sie verstehst...aber ich kann Dir sagen, wie sie geht und wie Du sie bei solchen Aufgaben "füttern" musst *lach*

Also pass auf:

Wenn Du den Würfel viermal wirfst und dann das Ergbnis anschaust, dann heißt das doch, das Dein Ergebnis immer aus vier Werten besteht. Also zum Beispiel:

Kopf, Kopf, Kopf, Kopf

oder

Zahl, Zahl, Zahl, Zahl

oder

Kopf, Kopf, Kopf, Zahl

oder

Kopf, Kopf, Zahl, Zahl

usw....

Insgesamt gibt es

16

solcher sogenannten Variationen. Kommst Du soweit mit ? Einverstanden ?

Wir suchen jetzt aus diesen

16

sogenannten Variationen genau die Variationen heraus, in denen zwei mal die Zahl vorkommt. Einverstanden ?

Das kann zum Beispiel sein:

Zahl, Zahl, Kopf, Kopf

oder

Zahl, Kopf, Kopf, Zahl

und so weiter....

Daccord ?

Gut !

Jedes Ergebnis solcher Würfe besteht also aus 4 Werten. Das heißt,

n = 4

Wir suchen jetzt diejenigen Möglichkeiten, bei denen zwei mal die Zahl vorkommt. Damit ist

k = 2

.

Wir berechnen jetzt

n

über

k,

also 4 über 2

Und das geht so:

n! : (k! \cdot (n - k)!)

Die Beduetung des Ausrufezeichens ist Dir bekannt ?

4! : (2! \cdot (4 - 2)!) = 4! : (2! \cdot 2!) = (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) : (2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1) = 6

Jetzt einsetzen in Deinen Quotienten Günstig durch möglich:

6 : 16 = 3 : 8

Einverstanden ?

veriina aktiv_icon

16:32 Uhr, 10.08.2013

Also, ich hab alles verstanden, ausser was mit dem Ausrufezeichen gemeint ist...

4!:(2!⋅(4−2)!)=4!:(2!⋅2!)=(4⋅3⋅2⋅1):(2⋅1⋅2⋅1)=6

Bei Deiner Rechnung verstehe ich es bis diesen Teil:

(4⋅3⋅2⋅1):(2⋅1⋅2⋅1)

Und nochmals danke für Deine Mühe!

:]

LG

verii

anonymous

16:37 Uhr, 10.08.2013

Das Ausrufezeichen heißt Fakultät.

Ganz billige Sache. Hier die Beispiele:

5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

wobei man die 1 am Ende immer weglassen kann.

Ich gebe Dir den Rat, diesen Weg immer wieder zu üben:

Es fängt immer an, dass Du sagst: Die Wahrscheinlichkeit ist der Quotient aus günstig geteilt durch möglich

Und wenn Du diesen Ansatz hast, dann musst Du nur noch ausrechnen, was ist günstig und was ist möglich.

Und die Berechnung, was möglich ist, ist ja auch billig zu berechnen. Nur die Zahl der günstigen Fälle ist etwas schwieriger zu berechnen, weil man da mehr rechnen muss.

Aber unterm Strich ist das eine tolle Methode für solche Aufgaben, weil man diese bldösinnigen Bäume nicht mehr braucht :-)

Ich kann Dir aus eigener Erfahrung sagen, dass es lange dauert, bis man sich an diesen Weg des Herangehens gewöhnt. Mein Tip: Mache immer wieder mal, von mir aus alle zwei Tage eine Aufgabe, so dass Du dieses Konzept irgendwann intus hast. Dann vergisst Du es nie wieder und die Klausuren können kommen, und während andere schwitzen beim Bäume zeichnen, ist es Dir egal, ob das

10, 20

oder

50

Münzwürfe sind *lach*

Gruß Matze

anonymous

16:41 Uhr, 10.08.2013

Ich würde mich freuen, wenn Du mir jetzt die Aufgabe vorrechnen würdest, wegen der Du gefragt hast.

Ich rechne dann nach und dann sehen wir gleich, ob Du zurecht kommst.

veriina aktiv_icon

16:49 Uhr, 10.08.2013

Ahh okay, und dankee. Du erklärst alles wirklich gut!

:]!!!

Und danke für die Methode, die werde ich jetzt mal testen und 3 aus 6 mal berechnen :-)
also

erstmal : Quotient aus günstige von mögliche

sprich

mögliche:

2^{8} = 64

günstige:

n = 6

k = 3

(6

über

3) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 - 3 \cdot 2)} = \frac{20}{119}

\frac{\frac{20}{119}}{64} =

irgendwie, glaube ich, dass ich da noch einen fehler hab

: S

veriina aktiv_icon

16:55 Uhr, 10.08.2013

Ahh nein, ich hab da mein fehler entdeckt, und zwar kommt bei mir

20

heraus, richtig ?

anonymous

16:56 Uhr, 10.08.2013

Also ich rechne nach:

Die Wahrscheinlichkeit

P

ist der Quotient aus den günstigen Fällen dividiert durch die möglichen Fälle.

Wieviele Fälle sind möglich, wenn die Münze 6 mal geworfen wird und dabei entweder Kopf oder Zahl zeigen kann (also zwei Werte besitzt) ?

Das ist also 2 hoch

6 = 64

Fälle.

So, jetzt suchen wir die Fälle aus den

64

Fällen, in denen Zahl drei mal vorkommt.

Das ist also

n

über

k

n

ist 6 (jedes mögliche Ergebnis des werfens ist ja eine Aneinanderreihung von sechs Werten)

k = 3,

weil ich diejenigen Fälle heraussieben will, bei denen drei mal ein bestimmter Wert in der Kette vorkommt.

6 über 3 ist also:

6! : (3! \cdot (6 - 3)!) = (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) : (3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1),

dann kürzen wie man das bei jedem Bruch macht ( wenn es geht) und das führt uns zu

20

Also

P = 20 : 64 = 0,3125

Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei

31,25 %

Was hast Du raus ?

anonymous

16:58 Uhr, 10.08.2013

Ja, Du musst erst den Wert in der Klammer ausrechnen, das hast Du richtig erkannt

!!!

und dann schreibst Du das alles auf einen Bruch und kürzt erst einmal

!!!

Das macht die Sache nämlich richtig schön übersichtlich und es macht auch Spaß zusehen, wie vieles einfach rausfliegt :-D)

Das ist das schöne an der Mathematik, dass sich manche Dinge so richtig schön vereinfachen :-)

Gut gemacht ! Bleib dran ! Mach weiter so !

Gruß Matze

veriina aktiv_icon

17:01 Uhr, 10.08.2013

Wow, das freut mich aber wirklich ziemlich sehr! :-D)

:]!!!

Muss mich bei Dir wirklich bedanken, erklärst alles sehr verständlich und einfach!

:]

Jaa :-D) stimmt, so macht ja einem Mathe spaß!

LG verii

anonymous

17:07 Uhr, 10.08.2013

Jetzt gebe ich Dir noch ein paar Tips für die nächsten Tage Verii, weil wir jetzt Dein Wissen "sichern" müssen, damit es Dir in der nächsten Klausur zur Verfügung steht:

Ich habe einige Erfahrungen gemacht, die wichtig sind:

Übe das immer wieder. Also zum Beispiel jeden zweiten Tag eine oder zwei solche Aufgaben. Das geht ja fix, dauert kaum mehr als 5 oder

10

Minuten :-)

Erkläre Dir dabei selber (per Selbstgespräch oder in Gedanken), warum Du es so machst (also zb: diese Zahl steht für das, und diese Zahl für jenes usw...) So entsteht Verständnis.

Und falls Du Lust hast, dem

n

über

k

auf den Grund zu gehen, dann schau Dir das Pascalsche Dreieck an. Das ist ganz witzig. Und das braucht man übrigens in der Wahrscheinlichkeitsrechnung noch öfter, Du solltest es also kennen.

Und dann noch ein wichtiger Warnhinweis, Verii: Nicht alle Aufgaben aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung lassen sich mit dieser Methode lösen. Das geht nur deshalb, weil bei jedem mal würfeln die Eintrittswahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl gleich sind

!!!!

Bei einem Würfel kann man so auch arbeiten, weil da die Eintrittswahrscheinlichkeit für

1, 2

oder 3 oder 4 oder 5 oder 6 Augen jeweils

1 : 6

ist

- - \to

also für alle gleich.

Bei bedingten Wahrscheinlichkeiten geht unsere Methode nicht. Aber

n

über

k

braucht man auch bei diesen Rechnungen, nur dürfen wir dann den Ansatz günstig durch möglich nicht mehr nehmen.

O . K

. ?

Matze

veriina aktiv_icon

17:17 Uhr, 10.08.2013

Danke für die tipps und Danke, das werde ich mir aufjedenfall vornehmen. Dass ich jeden Tag oder jeden zweiten Tag eine Aufgabe dazu mache!

:]

Und ja also mich interessiert es schon wie man das mit

n

über

k

herausbekommen hat und warum es denn genau auch funktioniert... Werd ich mal gucken, was ich darüber finde.

Was mich aber wundert, ist dass es so schnell geht :-D). Finde auch Binominalkoeffizient viel einfacher als Baumdiagramme! :-D) :-D) :-D)

Also die methode geht dann nur bei laplace-Wahrscheinlichkeiten?

Und wo braucht man bei bedingten Wahrscheinlichkeiten die

n

über

k

Methode ?
Und man darf den Ansatz nicht verwenden da die Wahrscheinlichkeiten nicht gleich sind, oder?

LG

verii

anonymous

17:24 Uhr, 10.08.2013

Genau....ich weiß ja nicht in welcher Klasse Du bist und wieviel Wahrscheinlichkeitsrechnung Du schon gemacht hast...

Es gibt auch Experimente, da weiß man von vorneherein, dass es zwei mögliche Ausgänge gibt, die aber nicht gleich wahrscheinlich sind.

Nehmen wir mal an, Du hast eine "getürkte" Münze :-) Das ist eine Münze, die beim werfen öfters Zahl zeigt als Kopf.

Da ist Deine Ausgangslage dann anders: Da weißt Du zum Beispiel, dass in

40 %

der Fälle Kopf gezeigt wird, in

60 %

der Fälle Zahl.

Und wenn so ein Experiment vorliegt, dann können wir dem Problem nicht mehr mit dem Quotienten günstig durch möglich beikommen.

Da gibt es dann andere Formeln. Und da steht eine solche in Deiner Formelsammlung unter dem Stichwort "Bernoulli-Kette der Länge n". Diese Formel beginnt auch mit

n

über

k

mal diverse andere Werte, die man dann halt noch berechnen muss.

Also im Grunde fast sogar einfacher, als das was wir jetzt gemacht haben, aber es ist eben in der Formel der Ausdruck

n

über

k

drin und das heißt, spätestens, wenn solche Aufgaben in der Schule kommen, werden die Euch das

n

über

k

beibringen.

Und da Du das jetzt schon kennst und kannst, kannst Du Dich dann zurücklehnen und es Dir aus der Position der Verstehenden einfach nochmal erklären lassen :-)

Matze

veriina aktiv_icon

17:30 Uhr, 10.08.2013

Ah asoo, okay, jaa dankeeschöön

:] :]

Dann freue ich mich schon wenn näheres über das Thema sprechen werden :-D)

LG

verii

anonymous

17:44 Uhr, 10.08.2013

"Und ja also mich interessiert es schon wie man das mit

n

über

k

herausbekommen hat und warum es denn genau auch funktioniert... Werd ich mal gucken, was ich darüber finde."

Das kannst Du Dir übrigens selbst zeigen:

Du malst einfach einen Baum, nehmen wir einfach mal folgendes Experiment: Es wird sechs mal gewürfelt. Du schreibst immer hin, ob Kopf oder Zahl gefallen ist. In der unteren Zeile, wenn Du also sechs mal gewürfelt hast, dann hast Du dort die

64

Äste

!!!

Das sind die

64

Variationen !

Und dann zählst Du auf Deiner Zeichnung einfach mal ab, wieviele davon zum Beispiel einmal Zahl haben.

Und dann rechnest Du das mal mit unserer Methode nach und dann gehen Dir die Augen über ! So kannst Du es Dir selbst zeigen !

Kostet Zeit, aber macht Spaß !

Viel Spaß damit :-)

veriina aktiv_icon

17:48 Uhr, 10.08.2013

hmm.. da ich sowieso noch darüber etwas gucken wollte, kann ich das jetzt mal machen. :-D)

Bin gespannt, ob es klappt :-D)

Dankeee

!!!

LG

verii

veriina aktiv_icon

18:05 Uhr, 10.08.2013

Also ich hab jetzt einen vollständigen Baumdiagramm gezeichnet und insgesamt gibt es 5 pfade, in der nur einmal Zahl vorkam!

anonymous

03:25 Uhr, 11.08.2013

Scan es doch mal ein, damit ich es ansehen kann.

veriina aktiv_icon

13:08 Uhr, 11.08.2013

Ja klar, hab ich angehängt :-)

Ehm, leider kann ich es so nicht schicken, da es maximal

500

kb bilder animmt

: S

Soll ich es irgendwie per Mail oder so?

LG

verii

anonymous

13:35 Uhr, 11.08.2013

Hallo Veri !

Ich habe Dir eine Privatnachricht geschickt.

Gruß Matze

veriina aktiv_icon

14:53 Uhr, 11.08.2013

Also ich habe jetzt das Baumdiagramm per Mail geschickt!

Und kannst Du mir vielleicht bitte noch bei der Aufgabe helfen, das ist eher Kontrolle:
Und dabei geht es um bedingte wahrscheinlichkeit. Zudem hab ich die Aufgabenstellung genau so aufgeschreiben, wie es auf dem AB. steht!

: S : (

http//www.onlinemathe.de/forum/Wahrscheinlchkeit

LG

verii

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