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Würfel, geometrische Verteilung

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Gedächtnislosigkeit, Geometrische Verteilung

Fabienne- aktiv_icon

22:49 Uhr, 13.12.2015

Eine faire Münze wird unendlich oft geworfen. Die Würfe werden mit 1,2,3,... durchnummeriert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass "Kopf" zum ersten Mal bei einem Wurf mit einer geraden Nummer auftritt.

Hallo, ich möchte diese Wahrscheinlichkeit ausrechnen.

Sei

X

eine Zufallsvariable.

X : {1, 2, 3, . . .} \to {0, 1}

X(i)=1, wenn die Münze im i-ten Wurf Kopf zeigt und X(i)=0, wenn die Münze im i-ten Wurf Zahl zeigt.

Dann ist

X \sim G e o (0.5)

verteilt.

Die Münze ist fair, also ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl jeweils 0.5.
Ich suche die Wahrscheinlichkeit, dass im zweiten Wurf Kopf kommt, oder im vierten usw.
Die Einzelwahrscheinlichkeiten muss ich aufsummieren und in den ungeraden Würfen darf vorher nicht Kopf auftauchen. Dies spielt in der Berechnung aber keine Rolle, da die Wahrscheinlichkeit ohnehin gleich ist.

mit A="die Münze zeigt zum ersten Mal Kopf bei einem geraden Wurf"

P (A) = \sum_{k = 1}^{\infty} p^{2 k} = \frac{1}{3}

Ich betrachte hier im Vorfeld nur die "geraden" Würfe. Nutze ich dabei indirekt die "Gedächtnislosigkeit" der geometrischen Verteilung aus?

Vielen Dank im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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10:05 Uhr, 14.12.2015

Da hast Du viel Quatsch geschrieben.

X

ist auf jeden Fall nicht Geo

(0.5)

.
Geo

(0.5)

ist die Zufallsvariable "Anzahl Versuche bis zum ersten Kopf". Du definierst Deine

X

aber ganz anders, z.B. darf sie bei Dir nur Werte

0

und

1

annehmen.
Eigentlich ist

X

bei Dir auch keine reichtige Zufallsvariable, sie ist auf natürlichen Zahlen definiert und nicht auf einem W-keitsraum. Zwar kann man auch natürliche Zahlen zu einem W-keitsraum machen, nur hast Du das nicht gemacht. Also stimmt es einfach vorne und hinten nicht.

Am Ende hast Du dann zwar ein richtiges Ergebnis, aber es kommt irgendwie aus dem heiteren Himmel, ohne Begründung.

Fabienne- aktiv_icon

14:19 Uhr, 14.12.2015

Wie hätte ich es denn besser aufschreiben können?

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14:21 Uhr, 14.12.2015

Vielleicht richtig?
Wie kommst Du überhaupt auf das Ergebnis? Woher kommt die Reihe?

Fabienne- aktiv_icon

14:26 Uhr, 14.12.2015

Die Reihe kommt daher, dass ich alle möglichen Ereignisse, also wo Kopf das erste mal bei einem ungeradem Wurf auftritt, addiere.

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14:28 Uhr, 14.12.2015

Wie sieht dann ein einzelnes Ereignis, mathematisch ausgedrückt, aus?

Fabienne- aktiv_icon

14:34 Uhr, 14.12.2015

Sei

A_{2 k}

das Ereignis, dass Kopf zum ersten mal in dem Wurf

2 k

auftritt.

Dann gilt

P (A_{2 k}) = (1 - p)^{2 k - 1} \cdot p

Wobei es hier eigentlich keine Rolle spielt, da

1 - p = p

, wegen

p = 0.5

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14:37 Uhr, 14.12.2015

Ein Ereignis ist nicht "dass", eine Ereignis ist eine Teilmenge des W-keitsraumes. Wie sieht überhaupt der W-keitsraum aus?

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14:45 Uhr, 14.12.2015

Als W'Raum würde ich

(ℕ - {0}, ℱ, P)

angeben.

ℕ - {0}

, weil ich die Würfe mit 1,2,3,... durchnummeriere.

ℱ

ist dann eine

σ

-Algebra und

P

das ganz normale W'Maß.

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14:47 Uhr, 14.12.2015

Was ist "das ganz normale" Maß? Was ist

P (i)

Fabienne- aktiv_icon

14:59 Uhr, 14.12.2015

P (i) = {(\frac{1}{2})}^{i}

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15:20 Uhr, 14.12.2015

Dann musst Du das auch von Anfang an so schreiben. Und nicht irgendwelche komische Zufallsvariablen einfügen, die nichts bringen.

Aber Du musst auch begründen, warum

P (A_{i}) = 0 . 5^{i}

Fabienne- aktiv_icon

16:10 Uhr, 14.12.2015

P (A_{i}) = (0.5)^{i}

, da in Kopf das erste mal in einem Wurf mit gerader Augenzahl auftreten soll. Dann muss Kopf i-1 mal nicht kommen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist

1 - p = p

, wegen

p = 0.5

.
Im i-ten Wurf soll die Münze dann Kopf zeigen, also insgesamt

P (A_{i}) = (1 - p)^{i - 1} \cdot p = p^{i}

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17:59 Uhr, 14.12.2015

Vielleicht reicht es als Begründung.

Fabienne- aktiv_icon

18:02 Uhr, 14.12.2015

Warum? Kann man es besser begründen?

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18:25 Uhr, 14.12.2015

Kann man schon, aus meiner Sicht.
Z.B. sind

A_{i}

eigentlich keine Elementarereignisse. Elementarereignisse sind endliche Folgen der Gestalt

(Z, Z, . . ., Z, K)

(

K

für Kopf,

Z

für Zahl). Dann ist auch einfacher zu argumentieren, dass die W-keit von so einer Folge

0 . 5^{i}

ist (einzelne Würfe sind unabhängig, daher ist die W-keit für das Produkt

P (Z)^{i - 1} P (K)

).
Aber andererseits, Deine Begründung am Ende passt auch schon.

Fabienne- aktiv_icon

18:30 Uhr, 14.12.2015

Ja, deine Begründung ist sicherlich schöner formal aufgeschrieben.
Inhaltlich finde ich sie aber identisch.

Doch wie schreibe ich nun die Rechnung richtig auf.

Ich definiere mir die Ereignisse

A_{i}

und bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit

P (A_{i})

.
Addiere ich die Einzelwahrscheinlichkeiten auf, so erhalte ich obige Reihe und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Kopf das erste Mal in einem Wurf mit gerader Anzahl auftritt.

Gibt es noch etwas zu beachten, oder wäre das der korrekte "Rohbau"?

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18:32 Uhr, 14.12.2015

Ich glaube, mehr muss man hier nicht beachten.

Fabienne- aktiv_icon

18:40 Uhr, 14.12.2015

Vielen Dank für deine Hilfe.

DrBoogie aktiv_icon

18:43 Uhr, 14.12.2015

Doppelt.

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