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Finanzmathematik

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, Finanzmathematik

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09:52 Uhr, 24.07.2020

Ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim zweimaligen Würfeln mit einem Tetraederwürfel

(4

Seiten)

d)

mehr als

3

in der Summe zu würfeln?

Also am einfachsten finde ich es ja tabellarisch und bin auf das richtige Ergebnis gekommen.

Wenn ich aber mit der Bernoulli-Formel vorgehen möchte, hatte ich noch etwas Schwierigkeiten aber meine Überlegung ist folgende:

Ich schaue zunächst welche Summen gibt es höher als

3 : 4, 5, 6, 7, 8

Aus welchen Ergebnissen können sie gebildet werden:

z . B

. Summe

4 :

aus 3 und 1 und 1 und 3 und 2 und 2

Wenn ich mit einem Baumdiagramm vorgehe, dann hätte ich nur 1 Pfad und multipliziere

\frac{2}{4}

mal

\frac{2}{4} = \frac{4}{16}

Wenn ich mit Bernoulli vorgehe, dann wären es bei der Summe

4 : 2

Treffer
Aber die jeweils die Wahrscheinlichkeit

\frac{2}{4}

hätten oder darf ich diese beiden Ergebnisse nicht zusammenfassen?

In der Tabelle bekomme ich auch für die Summe 4 auch nur

\frac{2}{16}

heraus.

P (X = 2) = (2

über

2)

mal

{(\frac{2}{4})}^{2} x {(\frac{2}{4})}^{0}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

DrBoogie aktiv_icon

10:12 Uhr, 24.07.2020

Und wie kommst du auf

2 / 4

? Und was bedeutet

4 : 2

überhaupt?
Außerdem verstehe ich nicht, was du mit Bernoulli meinst.

Du hast den zweimaligen Wurf mit dem entsprechenden W-keitsraum

{(a, b)} : a, b \in {1, 2, 3, 4}

, wo alle

16

Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind.
Für die Summe

4

kommen drei davon in Frage:

(1, 3)

(2, 2)

und

(3, 1)

, das ergibt die W-keit

3 / 16

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10:14 Uhr, 24.07.2020

Das Gegenereignis ist:

P (X \leq 3)

Mögliche Ausgänge dafür:

11,12,21

alle möglichen Ausgänge:

4 \cdot 4 = 16 \to P (X \leq 3) = \frac{3}{16}

P (X > 3) = 1 - P (X \leq 3) = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}

Lischka aktiv_icon

16:22 Uhr, 24.07.2020

Nur kurz für mich als Zusammenfassung:

Also wir haben geschaut aus welchen Ergebnissen das Ereignis: Summe

= 3

verursacht wird.

Summe

= 3

aus

(21

und

12)

Das wären 4 Treffer, Wir wollen aber die Wahrscheinlichkeit für die Summe größer

3,

also ab 4 Treffern. Deswegen steht dann

P (X > 3)

Danach gehen wir über die Gegenwahrscheinlichkeit.
Und die kleineren Summen sind nur 3 und

2,

diese werden aus den Ergebnissen

2,1

und

1,2

und

1,1

gebildet

Also

: 1 - 3 x \frac{1}{16}

Mich verwirrt immer, weil ich in

P

in die Klammer ja eigentlich nur die Anzahl der Treffer reinschreibe und nicht die Summenzahl.

Ich dachte auch bei

P (X \geq 3)

müsste ich noch die

01

und 2 dazunehmen

Weil wir hatten eine Aufgabe da stand die Wahrscheinlichkeit für genau eine 6 beim zweimaligen Würfeln und da wurde auch geschrieben

P (X = 1)

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16:59 Uhr, 24.07.2020

>>Mich verwirrt immer, weil ich in P in die Klammer ja eigentlich nur die Anzahl der Treffer reinschreibe und nicht die Summenzahl. <<

X muss natürlich erst definiert werden. X ist her die Zufallsvariable für die Summe der Augen der beiden Würfe.

>>Ich dachte auch bei P(X≥3) müsste ich noch die 01 und 2 dazunehmen<<

Das ist richtig, dass die beiden Ausgänge enthalten sind:

(1, 2)

und

(2, 1)

, mit der Summe

3

.
Hier hast du aber eine größer-gleich Beziehung. Gefragt ist aber nach

P (X > 3) = 1 - P (X \leq 3) = 1 - P (X = 3) - P (X = 2)

>>
Weil wir hatten eine Aufgabe da stand die Wahrscheinlichkeit für genau eine 6 beim zweimaligen Würfeln und da wurde auch geschrieben P(X=1)<<

Auch hier ist es eine Frage der Definition der Zufallsvariablen

X

X

ist hier die Zufallsvariablen für die Anzahl der Sechsen bei zweimaligen würfeln.

Lischka aktiv_icon

18:11 Uhr, 24.07.2020

Also wenn ich es über die Tabelle mache mit den Zufallsvariablen verstehe ich es.

Ich versuche es gerade für eine andere Aufgabe. Da soll man die Wahrscheinlichkeit beim zweimaligen Würfeln für eine Primzahlsumme bestimmen.

Also ich habe nun

X =

Summe Primzahl gewählt

Aber jedes Ereignis hat ja unterschiedlich viele Realisationen, die habe ich dazu geschrieben.

Jetzt will ich es aber mittels der Bernoulli Formel ermitteln.

Beispielsweise, wenn ich schon

P (X = 2)

Also die Wahrscheinlichkeit um eine 2 zu würfeln berechnen will.

Dann schaue ich ja die Realisationen an und da habe ich 2 Treffer

Aber wenn ich

P (X = 3)

berechne dann muss die Realisation

21

und

12

einzeln berechnen und addieren?

Kann ich dann schreiben

P (X = 3) = P (1, 2)

und

P (2,1)

? Oder wie schreibe ich das dann?

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18:39 Uhr, 24.07.2020

Wenn es klar ist was gemeint ist, dann kann man es so schreiben, wobei hier vielleicht noch das Wertepaar vorher erläutern würde.

(x, y) :=

x ist die die Zahl beim ersten Wurf und y ist die Anzahl beim zweiten Wurf.
Es ist immer gut, wenn man etwas vorher definiert.

P (X = 3) = P ((1, 2)) + P ((2, 1)) = . . .

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