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Würfelspiel Stochastik

Schüler Gymnasium,

Tags: Mehrstufige Zufallsversuch, Stochastik, Würfelspiel

Anonymus97 aktiv_icon

15:18 Uhr, 04.02.2016

Hallo, bei dieser Aufgabe fehlt mir leider jeglicher Ansatz:

A)

Bei einem Würfelspiel mit zwei Mitspielern A und

B

gewinnt derjenige, der zuerst Augenzahl 6 gewürfelt hat. A beginnt, dann ist

B

an der Reihe. Wenn nach drei Würfelrunden (3mal

A,

3mal

B)

noch keine 6 gewürfelt wurde, wird das Spiel abgebrochen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt A das Spiel, mit welcher Wahrscheinlichkeit

B

und mit welcher Wahrscheinlichkeit wird es abgebrochen, ohne dass eine 6 gewürfelt wurde?

Meine Idee dazu war, dass es ein Laplace-experiment ist und folgelich die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf eine 6 zu würfeln

\frac{1}{6}

ist. da der Spieler A beim ersten Wurf zu

\frac{1}{6}

eine 6 Würfelt, hat Spieler

B

die Chance von

\frac{5}{6}

noch zu gewinnnen. Spieler A daraufhin noch

\frac{4}{6}

usw. Allerdings ergibt das Ergebnis, dass nach 3 Würfelrunden immer eine 6 geworfen wurde wenig Sinn.
Über einen kleinen Denkanstoß würde ich mich sehr freuen.

die kommenden Aufgaben wären nun:

b)

Wie sich die Wahrscheinlichkeiten verändern wenn jeder Spieler

max

. 5mal wirft.

c)

wenn kein Abbruch erfolgt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit/ der Vorteil, dass Spieler A gewinnt?

d)

wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten von

a)

wenn drei

(A, B, C)

mitspielen?

e)

wenn die Regelvon

a)

geändert wird, dass

B

auch wenn A eine 6 geworfen hat nocheinmal werfen darf, damit das SPiel als unentschieden beendet werden kann. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt

A,

mit welcher

B,

mit welcher geht das Spiel unentschieden aus und mit welcher Wahrscheinlichkeit wird es nach dem 3. Wurf beider abgebrochen?

LG und schonmal vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

16:25 Uhr, 04.02.2016

>

Über einen kleinen Denkanstoß würde ich mich sehr freuen.
Gut, dann würde ich vorschlagen, dass du dir einen Baum aufmalst.

Erste Verzweigung: A gewinnt, oder A gew.nicht
Im ersten Fall hat A gewonnen

(\frac{1}{6}),

sonst geht es mit

B

weiter:
Zweite Verzweigung:

B

gewinnt, oder

B

gew.nicht
Im ersten Fall hat

B

gewonnen

(\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}),

sonst geht es in die zweite Runde;
dritte Verzweigung: A gewinnt, oder A gew.nicht
Im ersten Fall hat A gewonnen (insgesamt jetzt:

\frac{1}{6} + {(\frac{5}{6})}^{2} \cdot \frac{1}{6}),

sonst geht es mit

B

weiter
usf.

Wenn du dir nun die Gewinnwahrscheinlichkeiten für A und

B

anschreibst und genauer ansiehst, so solltest du erkennen, dass du es mit geometrischen Reihen zu tun hast.
Die Wahrscheinlichkeit für den Abbruch ohne 6 ist natürlich

{(\frac{5}{6})}^{6}

.

Zu deiner Kontrolle die gerundeten Ergebnisse für

a), b)

und

c)

(jeweils A gewint,

B

gewinnt, Abbruch):

a) 36,278 % / 30,232 % / 33,490 %

b) 45,736 % / 38,113 % / 16,151 %

a) 54,545 % / 45,455 % / 00,000 %

R

Anonymus97 aktiv_icon

20:48 Uhr, 04.02.2016

Klappt! Danke!

Anonymus97 aktiv_icon

23:23 Uhr, 04.02.2016

Nun habe ich doch noch eine Frage... Bei

a)

habe ich als Wahrscheinlichkeit

P (A

gewinnt in der 1. Runde)=1/6

, P (A

gewinnt in der 2. Runde)=5/6x1/6 und für

P (A

gewinnt in der 3. Runde)=5/6x5/6x1/6 wenn ich diese allerdings addiere komme ich auf

42 % .

. ich verstehe nämlich nicht recht, warum

B

in der ". Runde gewinnen soll, schließlich wäre das Experiment dann ja beendet..

Roman-22

01:06 Uhr, 05.02.2016

Ich dachte, dein "Klappt! Danke!" bedeutete, dass du meine Ergebnisse bereits verifiziert hast!

> P (A

gewinnt in der 2. Runde)=5/6x1/6
Das ist falsch!
Damit

A

in der zweiten Runde gewinnt, müssen sowohl

A,

als auch

B

in der ersten Runde eine von 6 verschiedene Zahl gewürfelt haben

\to {(\frac{5}{6})}^{2}

. Jetzt kommt A dran und gewinnt

\to {(\frac{5}{6})}^{2} \cdot \frac{1}{6}

>

ich verstehe nämlich nicht recht, warum

B

in der ". Runde gewinnen soll, schließlich wäre das Experiment dann ja beendet..
?????
Ich nehme an, das soll 2. Runde heißen!?
Wer sagt, dass

B

da gewinnen SOLL? Das Experiment ist immer dann beendet, wenn einer von beiden eine Sechs würfelt.
Damit

B

in der zweiten Runde gewinnt müssen in der ersten Runden A und

B

eine Nicht-Sechs gewürfelt haben und auch A darf in der zweiten Runde keine Sechs geworfen haben. Die WKT dafür, dass

B

in der zweiten Runde gewinnt, ist daher

{(\frac{5}{6})}^{3} \cdot \frac{1}{6}

.
Aber das müsstest du doch alles wunderschön von dem Wkts-Baum, zu dem ich dir geraten hatte, ablesen können.

R

Anonymus97 aktiv_icon

07:01 Uhr, 05.02.2016

okay, jetzt hab ich es verstanden, kleiner Denkfehler. Ein Problem hätte ich leider noch.. Bei e) ist die Wahrscheinlichkeit für ein Unentschieden 1/6*1/6=1/36 und die, dass das Spiel abgebrochen wird bleibt weil gleich viele Würfe keine 6 werden müssen (5/6)^6 .
Für die Wajrscheinlichkeit von A und B würde ich jetzt so tun als würden sie gleichzeitig werfen, also für die 1. Runde 1/6 , für die 2. 1/6*(5/6)^2 und für die 3. Runde 1/6*(5/6)^4 . Die Runden hab ich nun addiert und mit 2 multipliziert weil für B das gleich gilt. Wenn ich nun alle Werte addiere bekomme ich allerdings 1,08 raus also muss da irgendwas nicht stimmen.

Danke und LG

Roman-22

10:11 Uhr, 05.02.2016

>

Bei

e)

ist die Wahrscheinlichkeit für ein Unentschieden

\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}

das ist falsch! Es gibt zwei weitere Möglichkeiten für ein Unentschieden. Mal dir auch dazu einen Baum auf. Das Unentschieden kann ja auch erst in der zweiten oder dritten Runde eintreten.

>

und die, dass das Spiel abgebrochen wird bleibt weil gleich viele Würfe keine 6 werden müssen

{(\frac{5}{6})}^{6}

.

das ist richtig.

>

Für die Wajrscheinlichkeit von A und

B

würde ich jetzt so tun als würden sie gleichzeitig werfen, also für die 1. Runde

\frac{1}{6},

für die 2.

\frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2}

und für die 3. Runde

\frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{4}

.
Auch falsch.

\to

Baum. zB: Damit

A

in der ersten Runde gewinnt, muss er eine Sechs,

B

aber eine Nicht-Sechs würfeln (sonst wärs ja unentschieden). Also

\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}

Aber es wäre richtig, davon auszugehen, dass es diesmal ein faires Spiel ist und die Wkt zu gewinnen für A und

B

gleich ist.

R

Anonymus97 aktiv_icon

22:45 Uhr, 05.02.2016

vielen Dank!!!
LG

Fuxel aktiv_icon

21:05 Uhr, 19.03.2017

Danke für die gute Erklärung.

Ich kann aber noch nicht ganz nachvollziehen, wie du auf das Ergebnis bei der

c

kommst. Vielleich könnte das jemand erläutern.

LG

anonymous

00:00 Uhr, 02.05.2018

Ich wollte ebenfalls nach einer Erläuterung für

c

nachfragen.

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