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Wurfparabel

Schüler Gesamtschule,

Tags: Wurfparabel

Marca040 aktiv_icon

17:52 Uhr, 09.12.2010

Hallo ich soll mit den Folgenden Daten eine wurfparabel erstellen für einen Vortrag.
Schuss von der Mittellinie auf die torlatte mit einem Fußball ohne den Luftwiderstand zu beachten.
Geg: Mittellinie zur Torlinie:

50 m

lang, höhe des Tores:

2,5 m,

Geschwindigkeit des balls: 100km/h
Hoffe auf schnelle & einfache (also für mathelooser) antworten :-) danke im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Frosch1964 aktiv_icon

19:01 Uhr, 09.12.2010

mir fehlt da evtl. eine Angabe, kannst du mal die org. Aufgabenstellung schreiben ?

Marca040 aktiv_icon

21:47 Uhr, 09.12.2010

Das ist quasi die "originale" Aufgabenstellung... Die Aufgabe habe ich zusammen mit meinem Lehrer erstellt und er meint das kann man rechnen... Er hat mir ein Beispiel mit einem LGS gezeigt die ich nicht ganz verstanden hab, und eine weitere Möglichkeit habe ich in meinem Tafelwerk ( Buch mit vielen formeln^^ka ob du das kennst) gefunden die mir auch nicht ganz weitergeholfen hat... Was fehlt denn zur berechung... Bei den Gegebenheiten bin Ich relativ frei, also wenn der abschusswinkel fehlt kann ich mir den auch noch ausdenken, bin aber der Meinung das der Ball dann iwo aufkommt aber nicht auf der Latte...

pleindespoir aktiv_icon

03:59 Uhr, 11.12.2010

Die Angaben genügen - die Erdbeschleunigung kann man als bekannt voraussetzen.

Beim schrägen Wurf muss man die Bewegung in die horizontale und die vertikale Komponente auflösen.

Am Anfang hat man nen Haufen unbestimmter Werte aber nicht entmutigen lassen.

Gesucht bei der Aufgabe ist übrigens der Abschusswinkel, nehme ich an ...

Marca040 aktiv_icon

16:34 Uhr, 11.12.2010

Und wie mach ich das? (Bin wie gesagt nicht so gut in Mathe...)

Marca040 aktiv_icon

16:49 Uhr, 11.12.2010

Marca040 aktiv_icon

16:55 Uhr, 11.12.2010

Habe in meiner formelsammlung unter "schräger Wurf" das Ort-Zeit-Gesetz gefunden mit 2 Formeln. Einmal für

x

und für

y

. Und zwar

x = v 0 \cdot t \cdot cos (α)

y = - (g

durch

2) \cdot t^{2} + v 0 \cdot t \cdot sin (α)

Wie stell ich die Formeln nun nach dem Winkel um??
( wenn es einfacher ist nach

V 0

zu suchen kann die Aufgabe auch geändert werden, also das der Winkel dann gegeben ist (beispielsweise

45

grad).

(tut mir leid, kann die Formel zur Zeit nicht anders aufschreiben hab grad nur Internet auf dem Handy)

Marca040 aktiv_icon

17:02 Uhr, 11.12.2010

Oder muss ich was anderes mit den Formeln machen? Habe nämlich 2 variabeln...
Bin grad bisschen hilflos

anonymous

18:17 Uhr, 11.12.2010

die gleichungen müssten so stimmen, wenn du sie im buch findest
probier mal hiermit:

\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\sqrt{1 - \cos^{2} α}}{\cos α} \overset{}{\Leftrightarrow} \tan^{2} α \cos^{2} α = 1 - \cos^{2} α \overset{}{\Leftrightarrow} \cos^{2} α (1 + \tan^{2} α) = 1 \overset{}{\Leftrightarrow} \frac{1}{\cos^{2} α} = 1 + \tan^{2} α .

setzt du das ein erhältst du eine normale quadratische gleichung in

\tan α

, die du mit der P-Q Formel lösen kannst. das ergebnis dann noch in die Arcustangensfunktion einsetzen und du hast deinen Winkel.

die 100km/h ist deine startgeschwindigkeit.

damit ist deine einzige unbekannte der winkel ;-)

hab gerade zeit, bekommst gleich ne lösung ;D

http//www.megaupload.com/?d=92SAJHFA

Marca040 aktiv_icon

18:49 Uhr, 11.12.2010

Die ersten 2 Dinge in deiner Formel versteh ich noch, aber dann nichts mehr... Wäre nett du mir das nochmal genauer erklären kannst. Das soll wie gesagt ein Vortrag werden^^. da reichen die Lösungen nich ganz. Bin nämlich nicht soo talentiert in Mathe.
Danke

anonymous

18:58 Uhr, 11.12.2010

die umformung vom tangens?

wenn du dir ein rechtwinkliges dreieck anschaust, welches die hypothenuse

r

hat, sind die beiden katheten

r \cdot \sin α

und

r \cdot \cos α

. aus dem satz des pythagoras ergibt sich dann

r^{2} = r^{2} \sin^{2} α + r^{2} \cos^{2} α

also unabhängig von der größe des dreiecks und des winkels ist immer

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

und damit auch z.b.

\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α

der rest ist ja dann nur umstellen.

Marca040 aktiv_icon

15:05 Uhr, 12.12.2010

Danke für die Mühe. Jedoch verstehe ich einiges in deinem Lösungswegs nicht...

z . B

. was bedeutet das

x

mit den zwei/ein punkt oben drauf, wo kommen die verschiedenen

c

her?, was bedeutet das

K

?, was ist die Arcustangensfunktion und allgemein versteh ich die quadratische Gleichung nicht...

Abgesehen davon habe ich noch eine ganz andere Frage...

Habe mir gestern noch ein paar Gedanken gemacht...
würde es nich leichter zu rechnen sein, wenn ich den Winkel mit 45° angebe und den Ort wüsste wo der Ball aufkommen würde (mithilfe der Trigonometrie, gleichschenkliges Dreieck)

. .

. dann wäre die Geschwindigkeit gesucht...

nur wie rechne ich dann weiter...???

Habe meinen Ansatz als Bild angehängt...

Danke,

pleindespoir aktiv_icon

15:19 Uhr, 12.12.2010

http//de.wikipedia.org/wiki/Schiefer_Wurf

das und die weiterführenden Links sollten Dir mal Überblick verschaffen.

anonymous

16:08 Uhr, 12.12.2010

- die geschwindigkeit muss nicht berechnet werden mit den 100 Stundenkilometern ist die Startgeschwindigkeit gemeint

- die herleitung der wurfparabel war nur der vollständigkeit halber, die punkte kennzeichnen die zeitlichen ableitungen (ableitung einer funktion: gibt die rate an, mit der sich der funktionswert bezüglich der variable, nach der abgeleitet wurde, ändert -> im x-y system ist das dann die steigung, in diesem fall bedeutet

\dot{x}

beispielsweise, wie sich der weg

x

bezüglich der zeit

t

ändert. also die geschwindigkeit. die rate, mit der sich die geschwindigkeit bezüglich zur zeit ändert ist dann die beschleunigung, oder die zweite ableitung des weges. deswegen wird aus
dem kinetischen grundgesetz

F = m a

, betrachtet man nur die x-richtung

F = m \overset{..}{x}

.
aber wenn nichtmal ableitungen drankamen, lass es einfach raus und geh von der formel aus, die angegeben ist.

und aufgaben in der schule sind eigentlich immer so gestellt, dass sie lösbar sind.
allein aus dem grund wirst du bei einer bedingung (soll die torlatte treffen -> punkt im koordinatensystem) keine 2 unbekannten haben, deswegen ist, auch bei der etwas unglücklichen formulierung davon auszuegehen, dass die 100km/h die startgeschwindigkeit sind.

und da der abschusswinkel unbekannt ist, darfst du ihn eben nicht einfach festlegen, so dass was einfaches rauskommt =)

Marca040 aktiv_icon

16:48 Uhr, 12.12.2010

ja ich weis... ich mein wenn keine anfangsgeschwindigkeit gegeben ist. Also somit wäre der winkel gesucht...

Wie gesagt ich bin in der Aufgabenstellung ziemlich frei...

Die Wortwörtliche Aufgabenstellung lautet:

"Ein Schuss vom Anstoßpunkt auf die Torlinie* & auf die Latte unter berücksichtigung von Winkel-und Geschwindigkeitabweichungen"

Die geg sind mir frei überlassen, abgesehen von den Spielfeldgrößen. Hab ich wohl ein wenig unklar versucht zu erklären.^^

*Den Schuss auf die Torlinie habe ich am Anfang meiner Frage nicht hinzugefügt, da ich davon ausgegangen bin, dass ich dann mit dem Lösungsweg für den Schuss auf die Latte auch den auf die Torlinie hinbekomme.

pleindespoir aktiv_icon

17:05 Uhr, 12.12.2010

Es ist doch ziemlich schnuppe, was gegeben und was gesucht ist - es ist immer der gleiche Zusammenhang und muss nur nach entsprechend gesuchter Variable aufgelöst werden.

Wenn es ein Vortrag ist, kannst du das ja mal in allen Varianten durchspielen ...

Marca040 aktiv_icon

17:13 Uhr, 12.12.2010

Ja klar, aber da ich das jetzt nun mal nicht so ganz verstehe habe ich nach einem anderen ansatz gesucht...(das beispiel mit der Trigonometrie, wo ich dann nicht mehr weiter weiß...)

Und nachfragen was sich mit den einzelnen Teilen des Lösungswegs aufsich hat tu ich nur weil ich dann noch hoffe das vielleicht doch noch verstehe...

pleindespoir aktiv_icon

17:26 Uhr, 12.12.2010

Deine Idee mit den Dreiecken ist schon auch irgendwie möglich - dazu brauchst du aber vermutlich die Ableitung der Wurfparabel in den Start-Endpunkten und das wird dann wohl nicht wirklich einfacher.

Hinzukommt, dass dieser Ansatz dann unbedingte Reibungsfreiheit erfordert und sich auch nicht so einfach in die nächste Stufe (mit Einbeziehung des Luftwiderstandes)überführen liesse.

Ich würde mal empfehlen, bei den "klassischen" Methoden zu bleiben - dann begibst du dich auch nicht aufs Glatteis, was die Didaktik abfordert. Es ist ja wie es aussieht schon so für dich recht schwierig - also versuche dich nicht mit "Forschungsprojekten".

Marca040 aktiv_icon

17:41 Uhr, 12.12.2010

Der Luftwiderstand ist egal, den brauche ich nicht zu berüchsichtigen.

Ich schreib dir mal eben was auf, was mein Lehrer mir als Hilfe mitgegeben hat... das ich auch nur zum Teil verstehe...(da würde mein ansatz nämlich ziemlich gut weiterhelfen) vielleicht kannst du mir bei dem Weg dann versuchen weiterzu helfen... wenn nicht konzentrier ich mich auch eure Methode...

ich lad das bild gleich hoch...

Marca040 aktiv_icon

17:59 Uhr, 12.12.2010

Habe dazu geschrieben was ich nich verstehe...

(Das sind gerechnt für den Schuss auf die Torlinie, die benötigten Daten hätte ich dann mit meinem Ansatz ja auch!)

aleph-math aktiv_icon

05:26 Uhr, 13.12.2010

G.Abend/Morgen!

Nichts Neues seit 18h? Entw. haben alle aufgegeben o. die gr. Sonntagsruhe ist (spät, aber doch ;-)) ausgebrochen...

Trotz knapper Zeit (deswegen auch nicht früher :( ) kann ich viell./hoff. (wieder?) etwas Licht in die Sache bringen (ohne angeben zu wollen.. ;-)). Das Beste an dem letzten Bild ist die Zeichnung li.oben. Sie zeigt korrekt die Startsituation: der Ball fliegt mit gewisser Geschwindigk. in gewissem Winkel davon u. wird von der Erdanziehg. nach unten abgelenkt. Genau das gleiche gilt für die Geschwindigk., man muss nur s durch v ersetzen.

Nun kann bzw. muss man die erwähnte Trigon. bemühen u. den jeweil. Orts- bzw. Geschw.vektor in hor. & Vert. kompon. zerlegen; was gibt das? Richtig:

s_{x} = s \cdot \cos α

s_{y} = s \cdot \sin α (1)

bzw.

v_{x} = v_{0} \cdot \cos α

v_{y} = v_{0} \cdot \sin α (2)

;

v_{0} = ∣ ∣ \vec{v} ∣ ∣

bzw.

s = ∣ ∣ \vec{s} ∣ ∣

sind die Beträge des Geschwind.- bzw. Ortsvektors.

Die 2 Gl. aus'm Formelbuch sind (nat.) völlig korrekt, allerdings muss man v_0 durch v_x bzw. v_y ersetzen; also:

s_{x} = v_{x} \cdot t

s_{y} = v_{y} \cdot t - g t ² / 2 (3)

;
ein Teil des Vortrags könnte es sein, sie zu beweisen, davon aber später. Das muss dein Lehrer mit dem LGS gemeint haben.

Wir haben also 2 Gl. bzw. Funktionen eines Parameters t (Zeit). Für die Parabel brauchen/suchen wir aber 1 (eine!) Gl./Fkt. einer(!) Variablen (am besten horiz. Entfernung x). Gut, das ist nicht schwer, es ist die gleiche Methode wie beim LGS: Gleichsetzung! Aus der 1.Gl. (die mit s_x) berechnen wir:

t = s_{x} / v_{x}

u. setzen das in die 2. ein:

s_{y} = v_{y} \cdot t - g t ² / 2 = v_{y} \cdot s_{x} / v_{x} - g (s_{x} / v_{x}) ² / 2 (4)

.

Wenn wir jetzt in (4) die Ortsvar. durch die übl. "x" u. "y" ersetzen u. Gl.(2) berücksichtigen, erhalten wir:

y = v_{0} \sin α \cdot \frac{x}{v_{0} \cos α} - \frac{g}{2} (\frac{x}{v_{0} \cos α}) ² = x \cdot \tan α - \frac{g}{2} \frac{x ²}{(v_{0} ² \cos ² α)} (5)

.

Tja, das war's eigtl.; allerd. sind verschied. Fkt. in einer Gl. nicht "schön" u. auch nicht sehr geeignet. Wir erinnern uns daher an die Tangens-Formel von "woosar" (Danke!), nämlich

(c o s α)^{- 2} = 1 - t a n ² α

, u. bauen das in (5) ein:

y = x \cdot \tan α - \frac{g}{2} \frac{x ²}{v_{0} ²} (1 + \tan ² α) = x \cdot \tan α - \frac{g}{2} \frac{x ²}{v_{0} ²} \tan ² α - \frac{g}{2} \frac{x ²}{v_{0} ²} (6)

.

Das ist (sollte's wenigst. sein ;-)) die allgem. Wurfparabel.. Daraus kann man, wie "plein.." richtig sagt, je nach Bedarf verschied. Grösse berechnen: zB. bei gegeb. v u. α die Höhe, abh. von der Weite, also y = f(x) (d.i. der Graph einer Parabel) o. umgekehrt; bei gegeb. Weite u. Höhe sowie α die dazu notw. Geschwind.; o. (wie hier) bei gegeb. Höhe, Weite u. Geschwind. den nötigen Winkel.

Soweit "for today"; ist schon spät, sogar für Nachteulen.. ;-)

Morgen mehr! -GA

anonymous

11:16 Uhr, 13.12.2010

die formel muss nur

\cos^{- 2} α = 1 + \tan^{2} α

sein.:-)

was in vorträgen auch immer gut kommt, weils so anschaulich ist, ist die funktion
zu plotten für verschiedene werte von

v_{0}

und

α

aleph-math aktiv_icon

04:56 Uhr, 14.12.2010

G. Abend!

@woosar: "die formel muss nur 1/cos²α = 1'+'tan²α sein.. :-)" Sch..., da wird groß von "Dunkel erhellen" getönt u. dann sowas! Wenn schon zitieren, dann richtig! Aber immerhin, in der Formel (6) stimmt's wieder.
Ich hab' seitenw. den umgekehrten Weg versucht, nämlich tan in cos zu verwandeln u. hab mit allen mögl. Theoremen jongliert, was u.a. zu gemischten Gliedern unter der Wurzel u. dopp. Winkel führte, dabei ist es eigt. ganz einfach! Nur draufkommen muss man halt... ;-)

Zurück zur Rechnung: Gehen wir von Gl.(6) aus, substit. der Einfach. halber den Tangens mit u := tan(α) u. setzen die gegeb. Grössen Weite (50m), Höhe (2.5m) u. Startgeschwind. v0 = 100 km/h (Achtung; auf [m/s] umrechnen!) ein; dann gibt das nach ein wenig Umrechnen:

4, 90 \cdot 1, 8 ² u ² - 50 \cdot u + 4, 90 \cdot 1, 8 ² + 2, 5 = 0 (7)

; also tats. eine quadrat. Gl. für u (bzw. tanα)!

Die allgem. Lösungsformel (PQ- o. "Mittern.formel") lautet bekanntl.:

x_{12} = \frac{- b \pm \sqrt{b ² - 4 a \cdot c}}{2 a} (8)

; mit a,b,c als den Koeff. (glgt. auch Parametern) des quadr., lin. u. konst. Gliedes in der quadr. Gl. ax² + bx + c = 0. Wenn man das auf (7) anwendet, erhält man:

u_{12} = \frac{50 \pm \sqrt{50 ² - 4 \cdot 15, 89 \cdot (15, 98 + 2, 5)}}{2 \cdot 15, 89} =

...

= \frac{25 \pm \sqrt{332, 9}}{15, 89} = \frac{25 \pm 18, 25}{15, 89}

; mit folg. Lösg.:

u^{+} = {\tan α}_{1} \approx 2, 722

bzw.

u^{-} = {\tan α}_{2} \approx 0, 4252 (9)

.

Wie kommt man nun auf die Winkel? Dazu dient wie bei Potenz u. Wurzel o. 10^x u. Log auch hier eine Umkehrfunktion, eben die schon erwähnten "Arcus"-funkt.:

α = \arcsin (s i n (α))

o. eben

α = \arctan (t a n (α))

(u.a.), im TR meist als "atan" o. "

\tan^{- 1}

" bezeichnet. Zu guter Letzt bekommen wir also:

α_{1} = \arctan (2, 722) = 69, 8 °

bzw.

α_{2} = \arctan (0, 4252) = 23 ° (10)

. In 10 Schritten zur Lösung!

Das ist aber nur das "nackte" Rechenergebnis. Gerade bei/in einem Vortrag ist es gut, eigtl. nötig, die Ergeb. auch zu besprechen/kommentieren. Was sind zB. die *zwei* Werte oben? Die bestimmte Höhe kommt ja 2x vor, einmal beim Aufstieg u. einmal beim Runterfallen des Balls. Der gröss. Winkel ist der beim Aufstieg, der kl. biem "Clash", wenn also der Ball die Latte trifft. Aber Aufpassen! Was wir suchen, ist der Winkel beim Abschuss = Aufstieg(!), nicht der beim Auftreffen, obwohl der Lattenschuss das Hauptereignis ist. Um die Latte zu treffen, muss der Fussballer also unter ca. 70° abschiessen, u. das mit 100 km/h; ich bezweifle, dass er das fertig bringt.

Für einen Schuss auf die Torlinie ist die Rechnung gleich, nur muss man selbstverst. statt der 2.5 m 0 einsetzen.

Daran anschliess. kann man auch die Kraft betrachten, die für einen solchen Schuss nötig ist bzw. wäre. Dazu die bekannte Formel aus der Physik: *F = m.a* (Kraft = Masse * Beschleunig.). Bei der Berechnung der Beschleun. spielt allerd. die Schulstufe eine Rolle; die hast du bis jetzt verschwiegen. Das "Klasse 0" im Profil ist nicht sehr erschöpfend.. ;( Sofern nur ein typo dahintersteckt, lässt es mich die 10.Klasse vermuten; da war/ist von Differentalrechng. üblicherw. (noch) keine Rede. Wenn dir die Ableitungen von "woosar" fremd o. unbekannt waren, schlägt das in die selbe Kerbe. Für eine mathem. exakte Darstellg. wären sie zwar nötig, aber grob gesehen geht's auch ohne; schliessl. fängt die Physik schon in der Mittelstufe an. Also zurück zur Beschleun.:

Exakt/genau genommen ist "a" die sog. Ableit. der Geschwindigk., grob der Quotient aus Geschwind.- u. Zeit-änderg, also

a = Δ v / Δ t

. In diesem Fall sind allerd. nicht die horiz. bzw. vert. Kompon. relevant, sond. die Geschwind. in Richtung des Fluges, man sagt auch "Bahngeschw.". Um sie zu berechnen/bestimmen, sehen wir uns die Kräfte u. damit zusammenhäng. Geschwind. an, die auf den Ball wirken. Das ist die horiz. u. die vert. Kompon. des Abschlags (s. Gl.(2)) u. die Fallgeschw. durch die Erdanziehung, entgegen der vert. Kompon.; insges. also:

v_{x} = v_{0} \cdot \cos α

v_{y} = v_{0} \cdot \sin α - g \cdot t (2 *)

.

Die Bahngeschw. ist die Resultierende aller Geschwind., nach Pythagoras also:

v_{R} ² = v_{x} ² + v_{y} ² = (v_{0} \cdot \cos α) ² + (v_{0} \cdot \sin α - g \cdot t) ² = . . . = v_{0} ² - 2 g v_{0} t \cdot \sin α + g ² t ² (11) \Rightarrow

v_{R} = \sqrt{v_{0} ² - 2 g v_{0} t \cdot \sin α + g ² t ²} (12)

. Jetzt die Defin. von a benutzen:

a ² = (\frac{Δ v_{R}}{Δ t}) ² = (\frac{Δ (g ² t ² - 2 g v_{0} t \cdot \sin α)}{Δ t}) ² = (\frac{g ² (Δ t) ² - 2 g v_{0} \sin α \cdot Δ t}{Δ t}) ² = (g ² Δ t - 2 g v_{0} \sin α) ² \Rightarrow

a = g ² Δ t - 2 g v_{0} \sin α

.

Jetzt wird sogar eine Nachteule wie ich müd.. Wann ist denn der Vortrag? Brauchst du noch Material?

Gute Nacht bzw. für dich: G. Morgen! -GA

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