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Wurzel einer arithmetischen Funktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Analytische Zahlentheorie, arithmetische Funktion

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07:23 Uhr, 06.07.2020

Dieser Post beschäftigt sich mit der Funktionswurzel arithmetischer Funktionen.

Gegeben ist

f

und gesucht ist ein

w

mit

w * w = f

(Faltung).

Die Werte

w (n)

werden rekursiv nach folgendem Schema berechnet :

w (1) = \sqrt{f (1)}

EDIT (war vorher

w (1) = f (1)

)

w (1) w (2) + w (2) w (1) = f (2)

w (1) w (3) + w (3) w (1) = f (3)

w (1) w (4) + w (2) w (2) + w (4) w (1) = f (4)

w (1) w (5) + w (5) w (1) = f (5)

w (1) w (6) + w (2) w (3) + w (3) w (2) + w (6) w (1) = f (6)

w (1) w (7) + w (7) w (1) = f (7)

w (1) w (8) + w (2) w (4) + w (4) w (2) + w (8) w (1) = f (8)

\dots

Sei das gegebene

f

gleich

ɛ

mit

ɛ (n) = 1

.

Mit der Primfaktordarstellung

n = p_{1}^{e_{1}} \cdot \dots \cdot p_{r}^{e_{r}}

ist

w (n) = \prod_{j = 1}^{r} C_{e_{j}}

mit

C_{m} = \frac{((\binom{2 m}{m}))}{4^{m}}

.

Es gilt die Rekursionsgleichung

C_{m + 1} = \frac{2 m + 1}{2 m + 2} C_{m}

und daraus

C_{m} = \prod_{j = 0}^{m - 1} \frac{2 j + 1}{2 j + 2} = \frac{Γ (m + \frac{1}{2})}{Γ (m + 1) Γ (\frac{1}{2})}

.

Bemerkung :

C_{m}

sind die Koeffizienten der Maclaurin-Reihe von

\frac{1}{\sqrt{1 - x}} = \sum_{m = 0}^{\infty} C_{m} \cdot x^{m}

und es gilt
auch

C_{m} = \int_{0}^{1} {\cos (π t)}^{2 m} d t

(zu zeigen mit partieller Integration).

Sei das gegebene

f

gleich

w

.

Dann ist das

C_{m}

der Wurzel

w w

von

f

gleich

\frac{Γ (m + \frac{1}{4})}{Γ (m + 1) Γ (\frac{1}{4})}

und es gilt

C_{m} = \prod_{j = 0}^{m - 1} \frac{4 j + 1}{4 j + 4}

.

Bemerkung :

C_{m}

sind die Koeffizienten der Maclaurin-Reihe von

\frac{1}{\sqrt[4]{1 - x}} = \sum_{m = 0}^{\infty} C_{m} \cdot x^{m}

.

Sei das gegebene

f

gleich

w w

.

Dann ist das

C_{m}

der Wurzel

w w w

von

f

gleich

\frac{Γ (m + \frac{1}{8})}{Γ (m + 1) Γ (\frac{1}{8})}

und es gilt

C_{m} = \prod_{j = 0}^{m - 1} \frac{8 j + 1}{8 j + 8}

.

Bemerkung :

C_{m}

sind die Koeffizienten der Maclaurin-Reihe von

\frac{1}{\sqrt[8]{1 - x}} = \sum_{m = 0}^{\infty} C_{m} \cdot x^{m}

.

Sei nun das gegebene

f

gleich

I d_{k}

mit

I d_{k} (n) = n^{k}

.

Dann ist die Wurzel

w

von

f

gerade

w (n) = I d_{k} (n) \cdot \prod_{j = 1}^{r} C_{e_{j}}

mit

C_{m} = \frac{((\binom{2 m}{m}))}{4^{m}}

.

Grüße
Maki76

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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