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Wurzelfunktion approximieren

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Funktionenfolgen

Tags: Funktion, Funktionenfolgen, regression

discmaster aktiv_icon

13:51 Uhr, 14.08.2014

Servus zusammen,

für ein Projekt an der Uni stoße ich auf folgendes Problem:
Mir liegt eine Datenwolke mit

n

Werten

(x_{i}, y_{i}) \in ℝ^{2}

mit

i = 1 . . n

vor, woraus ich eine Wurzelfunktion konstruieren muss.

Die Funktion an die ich mich annähern muss, ist

f_{k} (x) = q - \sqrt[k]{x}

. Mit der Methode der kleinsten Quadrate wähle ich also den Ansatz

S (k, q) = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - f_{k} (x))^{2}

und suche

min S (k, q)

.

Nun bin ich in dem Thema noch in den Kinderschuhen. Für eine Regressionsgerade lassen sich ja Steigung und Achsenabschnitt recht einfach berechnen. Den Ansatz dafür habe ich versucht auch auf mein Problem anzuwenden:

(1)

\frac{\partial S (k, q)}{\partial k} = - 2 \sum (y_{i} - q + \sqrt[k]{x}) \frac{{\ln x}_{i}}{k^{2}} \sqrt[k]{x} = 0

(2)

\frac{\partial S (k, q)}{\partial q} = - 2 \sum (y_{i} - q + \sqrt[k]{x}) = - 2 n (\overline{y} - q) + \sum \sqrt[k]{x} = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} \sum \sqrt[k]{x} = 2 n (\overline{y} - q)

Jetzt könnte ich noch

\sum \sqrt[k]{x}

in (1) einsetzen, so in etwa verfährt man ja bei der linearen Regression, aber da hab ich das Summenzeichen ja nicht. In meinem Fall suche ich nach einer Möglichkeit

\sqrt[k]{x}

zu isolieren, aber ich finde sie nicht...

Bin ich wenigstens auf dem richtigen Weg, oder war das Latex-getippe bereits umsonst? Kann mir jemand weiterhelfen, wie ich (ggf. alternativ) das Problem löse?

Danke & Gruß
discmaster

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Yokozuna aktiv_icon

17:27 Uhr, 14.08.2014

Hallo,

zuerst mal zu

\sqrt[k]{x}

. Wenn ich so etwas sehe, denke ich bei

k

an eine ganze Zahl. Da aber bei Deinem Problem

k

durch einen Minimierungsprozess bestimmt werden soll, ist es unwahrscheinlich, dass da eine ganze Zahl herauskommt. Ich würde da deshalb eher

\sqrt[k]{x} = x^{\frac{1}{k}} = x^{α}

schreiben, wobei

α = \frac{1}{k}

ist.

Beim Auflösen der Gleichungen kann man jeweils den Faktor

- 2

vor der Summe weglassen, bei der ersten Gleichung auch noch den Faktor

\frac{1}{k^{2}},

da dieser nicht von

i

abhängt und deshalb vor die Summe gezogen werden kann. Bei der zweiten Gleichung fehlt dann nach der Umformung der Faktor

- 2

vor der Summe. Richtig wäre:

- 2 \cdot \sum (y_{i} - q + \sqrt[k]{x_{i}}) = - 2 \cdot n \cdot (\bar{y} - q) - 2 \cdot \sum \sqrt[k]{x_{i}}

Nun zur Lösung des Gleichungssystems: Manchmal kann man die Ansatzfunktion durch eine geeignete Koordinatentransformation linearisieren, so dass eine lineare Regression möglich ist,

z . B

y = a \cdot e^{b \cdot x} \Rightarrow ln (y) = ln (a \cdot e^{b \cdot x}) = ln (a) + b \cdot x = a' + b \cdot x

mit

a' = ln (a)

Ich habe aber momentan keine Idee, wie das bei Deiner Funktion möglich wäre und wahrscheinlich gibt es da keine Möglichkeit. Dann bleibt nur noch übrig, dieses nichtlineare Gleichungssystem bestehend aus 2 Gleichungen mit numerischen Methoden zu lösen.

Viele Grüße
Yokozuna

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