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Wurzelkriterium so richtig angewendet?

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Wurzelkriterium

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18:45 Uhr, 11.11.2019

Hallo,

Ich hätte eine kurze Frage.
Ich habe folgende Aufgabe (siehe Anhang) mit dem Wurzelkriterium gelöst.
Ist das so korrekt?
Falls nicht würde ich mich sehr über die richtige Lösung freuen.

Danke und VG.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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18:47 Uhr, 11.11.2019

Anhang fehlt!
Es werden nur

500

KB übertragen.

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18:49 Uhr, 11.11.2019

Jetzt aber :-)

Roman-22

18:55 Uhr, 11.11.2019

1)

lim_{n \to \infty}

musst du mit schleppen und schreiben, solange noch ein

n

vorkommt

2)

2 n + 1 \neq 2 \cdot (n + 1)

daher ist leider schon der erste Schritt falsch, auch wenn das Ergebnis

\frac{1}{9}

für den Grenzwert richtig ist.
Warum schreibst du nicht um zu

\frac{1}{3^{\frac{2 n + 1}{n}}}

und überlegst dann, was

lim_{n \to \infty} \frac{2 n + 1}{n}

ist ?

Der Vollständigkeit halber noch deine anderen Fehler, denn du hast nahezu in jeden Rechenschritt einen eingebaut. Du hast große Schwächen

u . a

. beim Rechnen mit Potenzen und Binomen, die du tunlichst bekämpfen solltest!

\to {(\frac{1}{9})}^{n + 1} \neq {(\frac{1}{9})}^{n} + (\frac{1}{9})

\to {[{(\frac{1}{9})}^{n} + (\frac{1}{9})]}^{\frac{1}{n}} \neq \frac{1}{9} + {(\frac{1}{9})}^{\frac{1}{n}}

\to lim_{n \to \infty} [\frac{1}{9} + {(\frac{1}{9})}^{\frac{1}{n}}] \neq \frac{1}{9},

sondern wäre

\frac{10}{9}

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18:59 Uhr, 11.11.2019

Die Summe ist eine geometrische Reihe, iht Wert ist leicht zu ermitteln.

= \frac{1}{3} \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{9^{n}} = = \frac{\frac{1}{9}}{1 - (\frac{8}{9})} = . .

Roman-22

19:03 Uhr, 11.11.2019

>

Die Summe ist eine geometrische Reihe, iht Wert ist leicht zu ermitteln.
Ja, aber vielleicht will oder muss der Fragesteller die Konvergenz explizit mit dem Wurzelkriterium beweisen.
Abgesehen davon enthält die Rechnung des Fragestellers dermaßen viele gravierende Fehler im elementarmathematischen Bereich, dass man da nicht einfach drüber hinwegsehen darf.

>

=13⋅∑n=1∞19n==191−(89)=...
Das würd ich mir an deiner Stelle aber nochmals gut überlegen!

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19:13 Uhr, 11.11.2019

Vielen Dank für die schnellen Antworten. Es ist egal mit was ich die Konvergenz oder Divergenz zeige.

Wie kommme ich denn von der Ausgangssumme auf die geometrische Reihe?
Fragen über Fragen ;-)

Ich habe mich nur über das Ergebnis gewundert, weil bei der Nachprüfung durch Wolfram Alpha kam

\frac{1}{24}

als Ergebnis raus.

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19:19 Uhr, 11.11.2019

Korrektur:

\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{9}}{1 - (\frac{1}{9})} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{24}

Sorry für die Unachtsamkeit.

a_{0} = \frac{1}{9}, q = \frac{1}{9}

Roman-22

19:52 Uhr, 11.11.2019

>

Wie kommme ich denn von der Ausgangssumme auf die geometrische Reihe?

Man sollte erkennen, dass der Quotient beliebiger aufeinanderfolgender Glieder

q = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{\frac{1}{3^{2 \cdot (n + 1) + 1}}}{\frac{1}{3^{2 n + 1}}} = \frac{3^{2 n + 1}}{3^{2 n + 3}} = \frac{1}{9}

konstant ist (hier eben

\frac{1}{9},

unabhängig von

n)

. Das ist charakteristisch für eine Geometrische Reihe. Und wenn der Betrag dieses Quotienten

q

dann auch noch kleiner als 1 ist, dann ist die GR konvergent und ihre Summe kann mit der bekannten Formel

s = a_{1} \cdot \frac{1}{1 - q} = \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{1}{27} \cdot \frac{9}{8} = \frac{1}{24}

berechnet werden.

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19:57 Uhr, 11.11.2019

So, hier nun mein aktuelles Ergebnis.
Sollte so richtig sein, oder?

Vielen Dank!

Roman-22

20:11 Uhr, 11.11.2019

Ja, ist richtig.
Allerdings folgt die Konvergenz nicht aus dem Ergebnis

\frac{1}{24},

sondern ist wegen

| q | = \frac{1}{9} < 1

gegeben. Die Summenformel dürfte man sonst ja gar nicht anwenden.

Wobei es meiner Meinung nach unnötiger Aufwand ist, die

\frac{1}{3}

nach vor zu ziehen und die Indexverschiebung durchzuführen, nur damit man die (zu) spezielle Formel

s = \sum_{k = 0}^{\infty} q^{k} = \frac{1}{1 - q}

anwenden kann.

Ich finde es bequemer, sich zu merken, dass die Summe einer konvergenten geometrischen Reihe das Produkt aus ihrem ersten Glied (welchen Index dieses auch immer haben mag) mit dem Term

\frac{1}{1 - q}

ist.

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21:13 Uhr, 11.11.2019

Sehr gut erklärt, vielen Dank :-)

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