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Wurzeln aus Komplexen Zahlen ohne Taschenrechner

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Prüfung, Universität

Systom030704 aktiv_icon

13:55 Uhr, 07.02.2024

Moin,
in einer Übungsklausur für höhere Mathematik, sind mir quadratische Gleichungen in

C

aufgetaucht, die man mithilfe der quadratischen Ergänzung Lösen kann.
Danach muss die Komplexe Zahl meistens radiziert werden

d . h

. meistens die Quadratwurzel.
Nun habe ich da einen AUdruck wie

2 + 2 i

stehen aus dem ich die Wurzel ziehen muss, ohne Rechner nur mithilfe der Sinus/Cosinus/tangens Tabelle.
Normalerweise gilt ja für den Realteil

u = r \cdot cos (φ),

also

φ =

arccos(u/r)

Für

2 + 2 i

gilt

| 2 + 2 i | =

Wurzel aus

(2^{2} + 2^{2}) =

Wurzel(8)
also arrcos(2/Wurzel(8))
Wie soll ich dass denn ohne Werte für arccos() oder Taschenrechner berechnen?
Wurzel(8)*cos(phi)=2??
Wie gehe ich mit so etwas in der Klausur am besten um?
Ganze Aufgabe:

z^{2} + (1 - 3 i) z - 2 - 2 i = 0

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

14:23 Uhr, 07.02.2024

Stell dir die Darstellung von

z = 2 + 2 i

doch mal in der Gauß-Ebene bildlich vor!

D

asolltest du doch das Argument

φ = 45^{\circ}

ganz ohne Rechnung klar vor Augen haben, oder?

Außerdem solltest du

cos (45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

auswendig wissen und somit

φ = a r c c o s \frac{2}{\sqrt{8}} = 45^{\circ}

im Kopf lösen können, denn

\frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

.

Überdies könntest du auch

φ = a r t a n \frac{I m (z)}{R e (z)}

nutzen (mit den Sonderbehandlungen für die Fälle mit

R e (z) \leq 0)

und

a r t a n \frac{2}{2} = a r c t a n 1 = 45^{\circ}

wird dir ja bekannt sein.

Nach all dem aber die Frage, wie du bei deiner quadratrischen Gleichung darauf kommst, aus

2 + 2 i

die Wurzel ziehen zu müssen?
Diese Gleichung führt doch auf

\sqrt{\frac{1}{2} i} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

und auch dabei können Kenntnisse über die Werte von sin und

cos

von

45^{\circ}

nicht schaden ;-)

HAL9000

17:11 Uhr, 07.02.2024

Die Wurzel (Hauptwert) aus der Diskriminante muss man übrigens nicht notwendig auf dem Weg über die Polarform berechnen. Es gibt auch die Möglichkeit

\sqrt{x + i y} = a + i b

via

x + i y = a^{2} - b^{2} + i 2 a b

und damit das Gleichungssystem

x = a^{2} - b^{2}, y = 2 a b

algebraisch durchzurechnen. Langer Rede kurzer Sinn, das Ergebnis ist

\sqrt{x + i y} = \sqrt{\frac{r + x}{2}} + i \cdot s \sqrt{\frac{r - x}{2}}

mit

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

sowie

s = 1

für

y \geq 0

, und

s = - 1

sonst.

Beispiel:

\sqrt{- 7 - 24 i} = \sqrt{\frac{25 - 7}{2}} + i \cdot (- 1) \sqrt{\frac{25 + 7}{2}} = 3 - 4 i

Atlantik aktiv_icon

09:09 Uhr, 08.02.2024

z^{2} + (1 - 3 i) z - 2 - 2 i = 0

z^{2} + (1 - 3 i) z = 2 + 2 i

z^{2} + (1 - 3 i) z + {(\frac{1 - 3 i}{2})}^{2} = 2 + 2 i + {(\frac{1 - 3 i}{2})}^{2}

{(z + \frac{1 - 3 i}{2})}^{2} = 2 + 2 i + {(\frac{1 - 3 i}{2})}^{2} = 2 + 2 i + \frac{1}{4} (- 8 - 6 i)

{(z + \frac{1 - 3 i}{2})}^{2} = 0,5 i | \sqrt{}

1 .) z + \frac{1}{2} - 1,5 i = \sqrt{0,5 i} = \sqrt{0,5} \cdot \sqrt{i}

Einschub

\sqrt{i} = \sqrt{\frac{2 i}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2 i} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 + 2 i - 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 + 2 + i^{2}}

\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 + 2 i + i^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{{(i + 1)}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (i + 1) = \frac{\sqrt{2}}{2} i + \frac{\sqrt{2}}{2}

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

z + 0,5 - 1,5 i = \sqrt{0,5} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} i + \frac{\sqrt{2}}{2})

z = \sqrt{0,5} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} i + \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1,5 i - 0,5 = 2 i

z_{1} = 2 i

2 .) z + \frac{1}{2} - 1,5 i = - \sqrt{0,5} \cdot \sqrt{i}

z + \frac{1}{2} - 1,5 i = - \sqrt{0,5} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} i + \frac{\sqrt{2}}{2})

z = - \sqrt{0,5} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} i + \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1,5 i - \frac{1}{2}

z_{2} = - 1 + i

HJKweseleit aktiv_icon

19:12 Uhr, 08.02.2024

Beispiel:

\sqrt{32 - 24 i}

Ansatz:

\sqrt{32 - 24 i} = a + b i \Rightarrow 32 - 24 i = (a + b i)^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 a b i

Tipp: Wenn ganzzahlige Lösungen zu erwarten sind, suchst du (im obigen Beispiel) zwei Zahlen a und b, deren Produkt die Hälfte von 24 ist und deren Differenz ihrer Quadrate 32.

12 = 2 \cdot 6

und

32 = 6^{2} - 2^{2} .

Jetzt musst du nur noch auf die richtigen Vorzeichen achten und darauf, welche Zahl das i bekommt. Im Term ist außerdem ein Minuszeichen zu erwarten, da ab = - 12 ist:

(2 - 6 i)^{2} = - 32 - 24 i

(- 2 + 6 i)^{2} = - 32 - 24 i

(6 - 2 i)^{2} = 32 - 24 i

Lösung 1

(- 6 + 2 i)^{2} = 32 - 24 i

Lösung 2

----------------------------

Wenn du keine ganzzahlige Lösung finden kannst, gehst du so vor:

Ansatz wie oben:

32 - 24 i = a^{2} - b^{2} + 2 a b i

Trennen der Komponenten, Problem wie oben:

- 24 = 2 a b,

also

a b = - 12

sowie

a^{2} - b^{2} = 32

a = - 12 / b

in die 2 Gleichung einsetzen:

144 / b^{2} - b^{2} = 32

Substitution:

x = b^{2}

144 / x - x = 32

144 - x^{2} = 32 x

x^{2} + 32 x - 144 = 0

x = - 16 \pm \sqrt{256 + 144} = - 16 \pm 20

x = b^{2} > 0

gilt, ist

x = b^{2} = 4

und

b = \pm 2

sowie

a = - 12 / b = \mp 6

Lösungen:

\sqrt{32 - 24 i} = \pm (6 - 2 i)

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