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Wurzeln mit Rechenregeln auflösen?
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: ganzzahlig, Potenz, Rechenregeln, Wurzeln
 
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Hey,
meine Schwester . Klasse, Gymnasium) kam vorhin ganz verzweifelt zu mir, ob ich ihr helfen könnte: Sie machen irgendeine Matheolympiade in der Schule und hatten da über die Ferien Aufgaben aufbekommen. Eine davon war die hier: Man soll ohne Taschenrechner sagen, ob als Ergebnis eine ganzzahlige Zahl oder sowas rauskommt... Also die Problemstellung war irgendwie, dass man mit Taschenrechnern ja manchmal und mit dem nächsten dann 4 rausbekommt irgendwie. Man soll die bekannten (? Was ist denn in der 9. bekannt?) Rechenregeln anwenden... Für folgende Aufgaben: (√18 √8 )² (√2 )² (√2 )hoch √(15+√104) √104) und "Finde alle ganzen Zahlen für für die n²-3 ein ganzzahliges Vielfaches von ist" Ich würde ihr echt gerne helfen, aber habe da echt grad keine Ahnung, was da als Rechenweg oder Lösung oder so erwartet wird Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Rechenregeln zum Integral Rechnen mit Logarithmen | |
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anonymous 02:13 Uhr, 12.10.2009 |
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Also ich habe mich mit google mal etwas schlau gemacht, was in der Regel einem/r Schüler/in der 9. Klasse bekannt sein sollte. Für die erste Aufgabe sehe ich kein Problem. Binomische Sätze müssten bekannt sein - die Teilaufgabe a und müssten also durch einfaches Ausmultiplizieren gelöst werden können. Bei der dritten Teilaufgabe kommt es nun ganz darauf an, was deine Schwester im Kopf hat. Entweder sie löst die Aufgabe über den Binomischen Satz - wobei ich jetzt annehme, dass der den wenigstens Schülern der 9. Klasse wirklich so geläufig ist - ich müsste jetzt auch erstmal im Tafelwerk nachschauen wie der genau aussah. Man kann sich aber auch das Rechnen sparen, indem man versucht zu begründen, dass die Wurzel immer bestehen bleibt egal welcher Exponent in der Aufgabe steht. Ein Binom sieht allgemein so aus: 2ab Ist a oder eine Wurzel, so wird diese immer im Term stehen bleiben. und werden in unserem Beispiel natürliche Zahlen, also erhalten wir für das Quadrat am Ende wieder eine natürliche Zahl und einen zweiten Ausdruck mit Wurzel, weil "2ab" immer unsere Wurzel mit einem ganzzahlen Faktor ist. Wenn wir mit diesem Ausdruck wieder multiplizieren wiederholt sich das eben erwähnte Schema. Somit können wir schlussfolgern, dass auch bei 15-maliger Multiplikation mit dem Ausdruck immer die irgendwo mit auftauchen wird und das Ergebnis damit irrational wird. Bei der vierten Teilaufgabe müsste man Radifizieren, um die Wurzel aus noch zu vereinfachen, allerdings gibt es keine ganze Zahl, deren Quadrat ist. Zu 2. Bei dieser Aufgabe muss man auch mehr begründen als zu rechnen. Die Aufgabenstellung als Gleichung: Für welche "n" ist a eine ganze Zahl? An der Stelle kommt die Begründung. "a" soll eine ganze Zahl werden. Der Ausdruck wird nur dann ganzzahlig, wenn der Teil ganzzahlig ist. Dies ist nur gegeben, wenn der Betrag von "n" ein Primfaktor von 3 ist und somit kann "n" nur oder 3 sein. Wenn ich jetzt so auf meinen beitrag schaue bestätigt sich meine Erwartungshaltung als ich das Wort Olympiade las. Ich habe selbst an einigen Matheolympiaden teilgenommen und dort geht es weniger darum Zahlen richtig zusammenzählen zu können, sondern durch Logik Zusammenhänge zu erkennen und dadurch auch ohne wildes Probieren Lösungen zu ermitteln bzw. begründen zu können, warum nur ganz bestimmte Zahlen die Aufgabe lösen. Ich habe gerade auf der deutschen Mathematik-Olympiade Seite gesehen, dass diese Aufgaben Teil der "49. Mathematik-Olympiade 2009/2010" für Klassenstufe war. Wenn ich dran denke werde ich mir am . mal die offizielle Lösung anschauen. Ich hoffe ich konnte euch irgendwie helfen und habe nicht all zu großen Mist geschrieben - bei der Uhrzeit kommt man schnell durcheinander. ;-) |
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Okay prima! Werde mir deine Antwort mal ausdrucken und mich nachher mit ihr hinsetzen, hoffe ich kann ihr das halbwegs gut erklären. Also danke für deine Mühe :-) |
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