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Wurzelproblem bei Lagrange Funktion

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Tags: Funktion Lagrange Optimierung Wurzel hoch 2 quadrieren

Basu678 aktiv_icon

15:43 Uhr, 24.03.2014

Guten Tag,

ich stehe kurz vor einer Mathematik Klausur und habe nach langem erfolgreichen Üben (bisher zumindest) alle Aufgaben lösen können, bis auf eine.

Es geht um eine Kostenminimierung von

C = 2 \cdot K + 5 \cdot A

unter der Nebenbedingung:

y = K^{\frac{1}{2}} + A^{\frac{1}{2}}

Ich habe die Lagrange Funktion

L = 2 \cdot K + 5 \cdot A -

lamda

\cdot (K^{\frac{1}{2}} + A^{\frac{1}{2}} - y)

aufgestellt, alle partiellen Ableitungen

= 0

gesetzt und den Expansionspfad

A = (\frac{4}{25}) \cdot K

oder eben

K = (\frac{25}{4}) \cdot A

erhalten. Jetzt wollte ich

A

in die Nebenbedingungen einsetzen, um die Optima auszurechen, stolpere aber ständig über folgendes Problem:

y = K^{\frac{1}{2}} + {(\frac{4}{25} \cdot K)}^{\frac{1}{2}}

Ich habe nun 2 verschiedene Methoden angewandt, um zum Ergebnis zu kommen. Entweder habe ich sofort quadriert. Dabei erhalte ich als Ergebnis:

y^{2} = (\frac{29}{25}) \cdot K

Addiere ich aber zuerst die beiden

K^{\frac{1}{2}}

erhalte ich

y = (\frac{7}{5}) \cdot K^{\frac{1}{2}}

und quadriere anschließend, erhalte ich

y^{2} = (\frac{49}{25}) \cdot K

Ich bin am verzweifeln, auf der anderen Seite aber sehr sicher, dass ich hier einen ganz doofen Rechenfehler mache :-D)

Ich wäre für schnelle Aufklärung sehr dankbar.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Matlog aktiv_icon

16:02 Uhr, 24.03.2014

"sehr sicher, dass ich hier einen ganz doofen Rechenfehler mache"

Da kann man nur zustimmen, aber das passiert halt jedem mal.

Die zweite Variante ist richtig, die erste falsch!
Eine Summe kann man doch nicht quadrieren, indem man (nur) die einzelnen Summanden quadriert...

Basu678 aktiv_icon

16:22 Uhr, 24.03.2014

Ich danke dir vielmals. Der Fehler war wirklich etwas unnötig :-)

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