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X, -X gleiche Verteilung -> Dichte achsensymm.

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Verteilungsfunktionen

Tags: Verteilungsfunktion

 
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cc-98

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00:41 Uhr, 12.12.2019

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Hallo, ich brauche bei der a) einen leichten Denkanstoß. Ich weiß das, wenn X,-X die selbe Verteilung haben, sie dann auch die selbe charakteristische Funktion haben. Jedoch weiß ich nicht inwiefern ich dann auf achsensymm. der Dichte von X schließen kann. Wäre für Ratschläge dankbar.

T

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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HAL9000

HAL9000

17:34 Uhr, 12.12.2019

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Charakteristische Funktion? Warum so kompliziert, nutze doch einfach, dass die Dichte f.ü. der Ableitung der Verteilungsfunktion entspricht. Somit ist für alle reellen t

FX(t)=P(X≤t)=PX(-X≥-t)=!PX(X≥-t)=1-FX(-t) ,

an der Stelle =! wird genutzt, dass X und -X die gleiche Verteilung besitzen. Nun das ganze nach t ableiten, und dabei rechts die Kettenregel beachten:

FX′(t)=-FX′(-t)⋅(-1)

fX(t)=fX(-t)
cc-98

cc-98 aktiv_icon

19:34 Uhr, 12.12.2019

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Ah okay, vielen Dank! Dann hätte ich noch eine Frage zur b)

Wenn Z1 und Z2 die identisch verteilt sind, dann gilt ja PZ1=PZ2 und insbesondere P-Z1=P-Z2.
Insbesondere hat also Y:=Z1-Z2 die selbe Verteilung wie -Y:=-Z1+Z2.

(a)
⇒Y besitzt eine bzgl. der y-Achse symm. Dichte.

Stimmt das so? Ich habe nämlich nicht die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen verwendet.
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HAL9000

HAL9000

06:57 Uhr, 13.12.2019

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> Insbesondere hat also Y:=Z1-Z2 die selbe Verteilung wie -Y:=-Z1+Z2.

Das mit derselben Verteilung ist i.a. falsch: Betrachte z.B. folgende diskrete Verteilung auf (Z1,Z2) mit den möglichen Werten 1,2,3 für die beiden Komponenten

(P(Z1=i,Z2=j))i,j=1,2,3=(0161614011211216112).

Alle Zeilen- und Spaltensummen sind jeweils 13, somit sind beide Komponenten Z1,Z2 diskret gleichverteilt und damit insbesondere auch identisch verteilt.


Aber Z1-Z2 besitzt dann folgende Verteilung:

(P(Z1-Z2=k))k=-2,-1,0,1,2=(16,14,112,512,112)

und Z2-Z1 entsprechend in der Reihenfolge der Wahrscheinlichkeiten gespiegelt. Von Symmetrie keine Spur. :(


Das war jetzt natürlich ein diskretes Beispiel, aber mit etwas mehr Mühe kann man sich ebenso ein stetiges Beispiel zurechtbasteln.

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Im Falle der Unabhängigkeit dürfen wir (im Gegensatz zu dem eben genannten Gegenbeispiel) aus der identischen Verteilung von Z1,Z2 schließen, dass die Vektoren (Z1,Z2) und (Z2,Z1) identisch verteilt sind - und das reicht dann!