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X,Y Koordinatensystem - Positionen um ein Quadrat

Universität / Fachhochschule

Tags: Koordinatensystem

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10:46 Uhr, 18.08.2015

Hey,

Ich hab folgendes Problem:

- Ich haben ein quadrat in nem

x, y

Koordianten system, dieses quadrat kann

z . B

irgendwo platziert werden mit irgend einer rotation.
- Dann soll ich Koordiaten Punkte berechnen für Positionen an jeder Seite des quadrats, sodass ein gleiches quadrat mit den gleichen Abmessungen hinpasst(seiten liegen an, 2 Eckpunkte überscheiden)
(siehe blauen Quadrate im Bild, ausgehend vom schwarzen in der Mitte)

Oder wäre es sogar leichter direkt um das Schwarze Quadrat(Bild) ein Gitter(Grid) zu erstellen(siehe zusätzlich die roten Quadrate)

Kann mir jemand sagen wie ich das am Mathematisch löse?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Mauthagoras aktiv_icon

14:09 Uhr, 18.08.2015

Hallo,

es wäre noch wichtig zu wissen, wodurch genau das Ausgangsquadrat gegeben ist - hast Du explizit die vier Eckpunkte?
Wenn ja, sollten wir das leicht durch normale "Vektorrechnung" lösen können.

Ich denke auf jeden Fall, dass sich die beiden Ansätze nicht wirklich unterscheiden; mit oder ohne Grid ist praktisch rechnerisch das gleiche.

Gruß Mauthagoras

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15:18 Uhr, 18.08.2015

ähm,

Ich habe die position des ausgangs Quadrats, die Größe des quadrats und Die rotation des quadrats..

Die Eckpunkt Koordinaten direkt habe ich also nicht

Roman-22

15:39 Uhr, 18.08.2015

1)

Wie/wodurch ist die Position des Quadrats gegeben?
Koordinaten eines Eckpunkts? Koordinaten des Quadratmittelpunkts?
In welchem Koordinatensystem? Kartesisch

(x, y),

Polar(r,phi)?

2)

Größe des Quadrats. Heißt wohl, dass die Seitenlänge a des Quadrats bekannt ist? Die "Größe" wäre ja auch gegeben, wenn die Länge der Diagonale bekannt ist oder ein zweiter Eckpunkt des Quadrats, etc.

3)

Der Begriff der "Rotation" des Quadrats ist noch zu definieren. Was genau verstehst du darunter bzw. was konkret ist bekannt. Soll das vielleicht der Winkel

α

sein, um den ein Quadrat gleicher Position und Größe mit achsenparallelen Seiten in mathematisch positivem Sinn um seinen Mittelpunkt gedreht werden muss, um in das gegebene Quadrat übergeführt zu werden? In welchem Bereich soll sich dieser Winkel bewegen? Sinnvoll wäre

0 \leq α < \frac{π}{2}

oder auch

- \frac{π}{4} < α \leq \frac{π}{4}

.

Eine präzise Aufgabenstellung ist nun mal das Um und Auf.

4)

Und was genau ist gesucht? Sind das die Koordinaten der Mittelpunkte der vier angrenzenden Quadrate? Also jene Punkte, die vom Mittelpunkt des Ausgangsquadrats den Abstand a haben und auf Geraden liegen, die zu den Quadratseiten parallel sind? In deiner Skizze wären das die vier violetten Punkte.

Ich denke, dass ich die Aufgabe durch Einbettung in die Gaußsche Zahlenebene mithilfe komplexer Zahlen lösen würde, aber natürlich bietet sich auch die Vektorrechnung an oder ganz simpel die Verwendung der Formel für die Drehung eine Punkts um einen anderen.
Schließlich sind, wenn meine obigen Annahmen zutreffen, ja nur die vier Punkte

(x \pm a | y)

und

(x | y \pm a)

um den Punkt

(x | y)

um den Winkel

α

zu verdrehen.

R

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09:20 Uhr, 19.08.2015

Tut mir leid, dass ich so wenig angaben habe, hierbei handelts es sich leider um eine eigene Aufgabenstellung von mir.

1)

Koordinaten des Mittelpunktes
Karthesisch(x,y)

2)

Seitenlänge

3)

Winkel?

0 - 360

Grad?

4)

Ja gesucht sind die Mittelpunkte der angrenzenden Quadrate.
Entfernung der Quadratmittelpunkte = Seitenlänge eines Quadrats

Bekannt sind also: Winkel, Seitenlänge und auch Abstand

(2 \cdot (\frac{a}{2}))

da die ja angrenzen

Ich dachte mir zu erst das ich vielleicht einfach mit dem winkel und der Bekannten entfernung( Seitenlänga des Quadrats nennen wir jetzt mal

a - > 2 \cdot (\frac{a}{2}) = a)

einfach die punkte ausrechne, bin jedoch nicht sicher ob das die beste lösung ist, oder ob es mit vektorrechnung funktioniert?

Roman-22

09:53 Uhr, 19.08.2015

Warum sollte der Winkel von 0° bis 360° laufen? Ab 90° wiederholt sich die CHose doch ohnedies. Ist aber egal.
Unabhängig mit welcher Methode du rechnest, die kartesischen Koordinaten der vier Quadratmittelpunkte errechnen sich mit

x_{i} = x + A \cdot cos α - B \cdot sin α

und

y_{i} = y + A \cdot sin α - B \cdot cos α

mit

i = 1 : A = x + a, B = y

i = 2 : A = x, B = y + a

i = 3 : A = x - a, B = y

i = 4 : A = x, B = y - a

x, y

sind die Koordinaten des Mittelpunkts des Basisquadrats und a ist seine Kantenlänge.

Gruß RMix

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00:40 Uhr, 20.08.2015

kannst du mir kurz erklären wie man auf das kommt? :-P)
und vorallem wie munss ich den winkel jetzt anbeben?

Roman-22

12:17 Uhr, 20.08.2015

Zunächst etwas Wichtiges: Was ich angegeben hatte ist leider falsch. In dem Absatz, in welchem ich zu jedem

i

die zugehörigen

A -

und B-Werte genannt habe gehört jedes

x

und

y

schlicht durch 0 ersetzt.
Anders ausgedrückt: A und

B

sind die Koordinaten der noch unverdrehten

(α = 0)

vier Punkte, relativ zum Mittelpunktpunkt des Basisquadrats. Also

(a | 0), (0 | a), (- a | 0)

und

(0 | - a)

.

Vielleicht hat dich der Fehler irritiert.

Ansonsten kannst du dir den Rest entweder mit Drehung in der Gauß-Ebene überlegen (ein Ansatz, der mir näher liegt) oder einfach die bekannten Formeln für die Drehung im

ℝ^{2}

benützen, die man bei der von mir angegeben Lösung ja deutlich sieht, also die entsprechende Drehmatrix mit dem Ortsvektor

(A | B)

multiplizieren.

R

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13:26 Uhr, 20.08.2015

Wie meinst du das mit der Drehung?

Du meinst das, das zweite Quadraht hat die richtige position aber ist nicht richtig gedreht? Muss ich doch nur den gleichen winkel anwenden wie beim Urspringsquadrat oder?

und zur Berechnung:

xi=x+A⋅cosα−B⋅sinα
und
yi=y+A⋅sinα−B⋅cosα

also soll das jetzt so Aussehen?

x 1 = x + a \cdot cos α

y 1 = y + a \cdot sin α

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13:33 Uhr, 20.08.2015

mein gott jetzt komm ich wieder drauf xD

cos α =

adjacent / Hypothenuse umwandeln auf adjacent und dazu noch ursprings

X

position

sin α =

opposite / Hypothenuse umwandeln auf opposite und dazu noch die Ursprungs

Y

position

ergibt die Formel, weil ich vorhin wegen erklärung gefragt habe

Roman-22

14:39 Uhr, 20.08.2015

Ja, genau. Du kannst es dir auch so mithilfe der Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck für jeden der vier Fälle einzeln überlegen. Da kommst du auch hin.

Es hilft, wenn du nicht an deine Quadrate denkst, sondern nur die 5 Quadratmittelpunkte betrachtest.

R

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14:27 Uhr, 21.08.2015

ist es irgendwie möglich das man das einfacher macht?

z . B

das das Quadrat ein eigenes Koordinatensystem im Koordinatensystem hat.

und wenn dann Vom quadratausgehend

z . B x = 100

mache, dieses dann entlang der eigenen

X

achse im "Haupt" koordinatensystem bewegt?

Wie müsste die umrechnung für so etwas aussehen? das dies für jeden winkel des Quadrats passt.

(falls man nicht versteht was ich meine siehe bild)

Roman-22

14:48 Uhr, 21.08.2015

Du bekommst doch kein anderes Ergebnis nur weil du einen anderen Rechenweg einschlägst.
In deinem lokalen Koordinatensystem haben die Punkte natürlich immer feste Koordinaten, weil es sich mitbewegt. Sobald du aber ins Basiskoordinatensystem zurückrechnest, landest du genau bei den gegebenen Formel mit sinus und cosinus.

Was ist dir denn an

x_{1} = x + cos α

und

y_{1} = y + sin α

zuwenig einfach?

Einfacher machen kannst du dir wegen der 90° Verdrehung aber die Berechnung der restlichen drei Punkte, sobald du die Lage eines Punktes ermittelt hast. Du kannst ja auch

sin α

und

cos α

einmal berechnen und abspeichern und dann die gespeicherten Werte verwenden.
Ich nehme an, es geht um irgend ein Spiel, dass du programmieren möchtest. Dann sieh dich im Netz um geeignete Bibliotheken um, die dir rasch und genau genug deine Winkelfunktionswerte liefern. Die mit dem Compiler mitgelieferten sind meist eher langsam.

R

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18:58 Uhr, 21.08.2015

jup hast du richtig erraten, ich war mir bei der mathe nicht ganz sicher was der beste weg ist, darum brauch ich etwas hilfe :-P)

hier kannst du sehen was ich genau vorhabe:

www.youtube.com/watch?v=epwcLfqHnS0

Derzeit funktioniert die berechnung noch nicht ganz aber ich werd mir das ganze mit der oberen lösung ansehen.

Roman-22

08:31 Uhr, 22.08.2015

Na, dann gutes Gelingen!

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