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Z%2^3 jeder Unterraum hat eindeutigen Komplementär

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Komplementärraum, Unterraum, Vektorraum

terrabowing aktiv_icon

04:21 Uhr, 11.05.2020

Hallo,
Ich kämpfe gerade ein bisschen mit der letzten Teilaufgabe meines Beispiels. Es gilt zu entscheiden(wahr oder falsch) ob in

Z % 2^{3}

jeder Unterraum einen eindeutigen Komplementärraum besitzt. Das klingt mir recht einleuchtend und ich würde sagen "wahr". Jedoch komm ich auf keinen Beweis. Ich habe überlegt das Ganze durchzuprobieren jedoch wirkt mir das sehr umständlich. Für eine elegantere Lösung wäre ich dankbar :-)

MFG
terrabowing

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ermanus aktiv_icon

08:22 Uhr, 11.05.2020

Hallo,

ist

(Z / 2 Z)^{3}

gemeint?

Wenn ja, dann finde ich zum Unterraum

{(0, 0, 0), (1, 0, 0)}

mindestens 2 verschiedene Komplementärräume.

Gruß ermanus

terrabowing aktiv_icon

18:18 Uhr, 11.05.2020

Ja genau :-) was für Komplementärräume sind das ? Bin leider noch nicht so fit in dem Bereich...
MFG

terrabowing

ermanus aktiv_icon

18:27 Uhr, 11.05.2020

Na, einen kannst du ja sicher angeben, oder?

terrabowing aktiv_icon

22:08 Uhr, 11.05.2020

Okay also wenn wir sagen

U 1 := {(0,0,0), (1,0,0)}

dann wäre

U 2 := {(0,0,0), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (0,0,1), (1,1,1)}

ein Komplementärraum durch die Addition der Vektoren von

U 2

mit dem Nullvektor von

U 1

und

U 3 := {(0,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,1,1), (1,0,1), (0,1,1)}

wäre ein Komplementärraum durch die Addition der Vektoren von

U 3

mit dem zweiten Vektor

(1,0,0)

von

U 1

. Stimmt das so ?

terrabowing aktiv_icon

22:08 Uhr, 11.05.2020

Okay also wenn wir sagen

U 1 := {(0,0,0), (1,0,0)}

dann wäre

U 2 := {(0,0,0), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (0,0,1), (1,1,1)}

ein Komplementärraum durch die Addition der Vektoren von

U 2

mit dem Nullvektor von

U 1

und

U 3 := {(0,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,1,1), (1,0,1), (0,1,1)}

wäre ein Komplementärraum durch die Addition der Vektoren von

U 3

mit dem zweiten Vektor

(1,0,0)

von

U 1

. Stimmt das so ?

terrabowing aktiv_icon

22:09 Uhr, 11.05.2020

Okay also wenn wir sagen

U 1 := {(0,0,0), (1,0,0)}

dann wäre

U 2 := {(0,0,0), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (0,0,1), (1,1,1)}

ein Komplementärraum durch die Addition der Vektoren von

U 2

mit dem Nullvektor von

U 1

und

U 3 := {(0,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,1,1), (1,0,1), (0,1,1)}

wäre ein Komplementärraum durch die Addition der Vektoren von

U 3

mit dem zweiten Vektor

(1,0,0)

von

U 1

. Stimmt das so ?

terrabowing aktiv_icon

22:09 Uhr, 11.05.2020

Okay also wenn wir sagen

U 1 := {(0,0,0), (1,0,0)}

dann wäre

U 2 := {(0,0,0), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (0,0,1), (1,1,1)}

ein Komplementärraum durch die Addition der Vektoren von

U 2

mit dem Nullvektor von

U 1

und

U 3 := {(0,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,1,1), (1,0,1), (0,1,1)}

wäre ein Komplementärraum durch die Addition der Vektoren von

U 3

mit dem zweiten Vektor

(1,0,0)

von

U 1

. Stimmt das so ?

ermanus aktiv_icon

22:19 Uhr, 11.05.2020

Du solltest dir die Definition eines Komplementärraumes
unbeding nochmal ansehen. Wenn

U_{1}

die Dimension 1 hat, dann muss ein
Komplementärraum die Dimension 2 haben, da der Gesamtraum die Dimension 3 hat.
Dann besitzt aber ein Komplementärraum nur 4 Elemente.

terrabowing aktiv_icon

15:58 Uhr, 12.05.2020

Okay ich glaub jetzt hab ich die Addition von Untervektorräumen verstanden.

U 2 := {(0,0,0), (1,1,1), (1,1,0), (1,0,1)}

und

U 3 := {(0,0,0), (0,1,1), (0,1,0), (0,0,1)}

. Passt es dieses mal ?

ermanus aktiv_icon

16:02 Uhr, 12.05.2020

Leider noch nicht so ganz. Dein

U_{2}

ist gar kein Unterraum!

terrabowing aktiv_icon

16:09 Uhr, 12.05.2020

Stimmt... aber was ist dann der zweite Komplementärraum ? Wär super wenn du ihn mir angeben könntest vllt macht es dann endlich mal klick...

ermanus aktiv_icon

16:13 Uhr, 12.05.2020

Was iast denn die Summe des zweiten und dritten Vektors?
Der muss doch auch drinliegen. Und dann lasse den letzten einfach weg ...

terrabowing aktiv_icon

16:21 Uhr, 12.05.2020

Dann wären wir bei

U 2 := {(0,0,0), (0,0,1)}

und dazu brauchen wir noch den Vektor

(0,1,0)

damit wir

U 1 + U 2 = V

erhalten. Richtig ?

terrabowing aktiv_icon

16:22 Uhr, 12.05.2020

Dann wären wir bei

U 2 := {(0,0,0), (0,0,1)}

und dazu brauchen wir noch den Vektor

(0,1,0)

damit wir

U 1 + U 2 = V

erhalten. Richtig ?

terrabowing aktiv_icon

16:22 Uhr, 12.05.2020

Dann wären wir bei

U 2 := {(0,0,0), (0,0,1)}

und dazu brauchen wir noch den Vektor

(0,1,0)

damit wir

U 1 + U 2 = V

erhalten. Richtig ?

terrabowing aktiv_icon

16:22 Uhr, 12.05.2020

Dann wären wir bei

U 2 := {(0,0,0), (0,0,1)}

und dazu brauchen wir noch den Vektor

(0,1,0)

damit wir

U 1 + U 2 = V

erhalten. Richtig ?

ermanus aktiv_icon

16:28 Uhr, 12.05.2020

Was machst du denn da seltsames mit deinem doch recht gut gedachten

U_{2}

?
Du hattest doch die beiden Vektoren

(1, 1, 1)

und

(1, 1, 0)

dadrin.
Warum schmeißt du die denn weg????
Du solltest die Summe der beiden hinzunehmen, also

(1, 1, 1) + (1, 1, 0) = (0, 0, 1)

, da zu je zwei Vektoren
eines Unterraums auch deren Summe dazugehört.
Dann hast du die Menge

{0, 0, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}

.
Den Vektor

(1, 0, 1)

solltest du ja wegwerfen.

terrabowing aktiv_icon

16:37 Uhr, 12.05.2020

Aja okay ergibt Sinn... danke dir :-)

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