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Zählbare Basis

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

 
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mathestudent-111

mathestudent-111 aktiv_icon

10:10 Uhr, 14.01.2020

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Hallo Zusammen

Ich brauche Hilfe um die Musterlösung zu verstehen. Leider habe ich nicht die leiseste Ahnung was der Dozent hier macht.

Zuerst einmal fürs Verständnis, die Quotientenmap ist doch immer Injektiv und nicht nur beschränkt auf diese Kugel mit r kleiner als 1/2? Denn jedes element ist zu sich selbst equivalent und in diesem fall noch zu mehreren anderen Elementen, somit ist dieses immer Injektiv. Ebenfalls ist doch dieses T auch das ganze R^2, da jedes element zu sich selbst equivalent ist, oder?

Des Weiteren weiss ich, dass eine Menge in T offen ist, falls das Urbild in R^2 offen ist.

Countable Basis

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

10:27 Uhr, 14.01.2020

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> die Quotientenmap ist doch immer Injektiv und nicht nur beschränkt auf diese Kugel mit r kleiner als 1/2?

Nein: Z.B. ist q(0,0)=2=q(1,0), schon ist es aus mit der Injektivität.

mathestudent-111

mathestudent-111 aktiv_icon

10:33 Uhr, 14.01.2020

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klar, habe einen Überlegungsfehler mit surjektiv gemacht. Die Abbildung ist immer surjektiv und nicht Injektiv. Aber was ist nun die Überlegung für diesen Beweis. Warum beschränkt er diese Funktion auf einen Ball mit r<1/2? Und warum ist es dann Injektiv und warum möchte er eine Injektive Abbildung erzeugen?
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

10:46 Uhr, 14.01.2020

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> Warum beschränkt er diese Funktion auf einen Ball mit r<1/2? Und warum ist es dann Injektiv

Es wäre ja gut zu erfahren, mit welcher Metrik/Norm du hier arbeitest, ich nehme an die L-Norm, d.h. (x,y)=max(x,y). Für eine Menge M=B((x0,y0),r) mit r>12 ist die Einschränkung von q auf M nicht mehr injektiv, denn da gilt analog zu meinem Beispiel eben ja q(x0-12,y0)=q(x0+12,y0).

Für r12 enthält M indes keine zwei ~äquivalenten Elemente, d.h., da klappt es mit der Injektivität.


> und warum möchte er eine Injektive Abbildung erzeugen?

Weiß ich nicht.

mathestudent-111

mathestudent-111 aktiv_icon

11:21 Uhr, 14.01.2020

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Vielen Dank, das mit der injektivität bei r <1/2 habe ich nun verstanden. Nun bin ich noch auf der Spurensuche warum er dies überhaupt macht.
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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

12:03 Uhr, 14.01.2020

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Hallo,

"warum er dies überhaupt macht."

Ich vermute: Er will zeigen, dass q(B) offen ist, dazu (nach Definition), dass q-1(q(B)) offen ist. Im Falle der Injektivität ist q-1(q(B))=B.

Gruß pwm
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