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Zähldichte beweisen

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Verteilungsfunktionen

Tags: Verteilungsfunktion, Zähldichte

gurke122 aktiv_icon

16:48 Uhr, 27.10.2018

Hi,

bräuchte Hilfe bei der Aufgabe unten im Bild.

Um zu zeigen, dass die Abbildung eine Zähldichte ist, zeigt man zwei Sachen:
1)

p (ω) \geq 0

für alle

ω \in Ω

\sum_{ω \in Ω} p (ω) = 1

Das erste zu zeigen ist ja nicht wirklich schwer, das war also kein Problem.

Bei 2) hab ich allerdings Probleme.

Also die Elemente aus

Ω

haben ja die Form

(w_{1}, . . ., w_{n})

mit

w_{1}, w_{2} \in 0, 1

, also beispielsweise

(0, 0, 1, 1, 0, 1, 1)

(für n=7). Das bedeutet ja, dass zum Beispiel immer

\sum_{i = 1}^{n} ω_{i} \leq n

ist.

Jetzt soll man den binomischen Lehrsatz anwenden - ich hab es an mehrere Stellen versucht (direkt am Anfang, erst umformen und dann anwenden, ...), aber bin zu keiner Lösung gekommen.

Vielleicht ist mein größtes Problem auch, dass ich nicht weiß, wie ich die Summe

\sum_{ω \in Ω}

'umschreiben kann' (falls man das überhaupt kann).

Mir ist klar, was es bedeutet und bei konkretem n ist es auch kein Problem das zu beweisen (einfach auszurechnen), aber bei allgemeinem n krieg ich es einfach nicht hin.

Ich will keine ganze Lösung, nur einen Tipp vielleicht. Danke schonmal.

Freddie

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Domares aktiv_icon

12:46 Uhr, 28.10.2018

Umschreiben ist der richtige Ansatz. Um die Summe

\sum_{ω \in Ω} p (ω) = \sum_{ω \in Ω} p^{\sum_{i = 1}^{n} ω_{i}} (1 - p)^{n - \sum_{i = 1}^{n} ω_{i}}

zu vereinfachen könnte man folgendermaßen vorgehen: Der Wert der einzelnen Summanden hängt nur davon ab, wie viele 0 und 1 in einem

ω \in Ω

vorkommen. Z.B.: für

n = 6

liefert

ω = (1, 0, 0, 0, 0, 0)

denselben Wert wie

ω = (0, 0, 0, 0, 0, 1)

. Es bietet sich daher an die Summe zu vereinfachen indem man jeweils alle

ω \in Ω

zusammenfasst, die jeweils die gleiche Anzahl von 0 und 1 enthalten. An dieser Stelle muss man sich dann überlegen: Wie viele

ω \in Ω

gibt es die genau 0 Einsen enthalten? Wie viele

ω \in Ω

gibt es die genau 1 Eins enthalten? usw...

gurke122 aktiv_icon

12:11 Uhr, 29.10.2018

Ah, klar, vielen Dank!

Am Ende sollte man nach Anwendung des binomischen Lehrsatzes dann ja

. . . = (p + (1 - p))^{n} = 1^{n} = 1

erhalten, richtig?

Und bei b) wäre es

p = \frac{1}{2}

Domares aktiv_icon

15:17 Uhr, 29.10.2018

Genau, beides stimmt.

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