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Zählmaß

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Maßtheorie

Tags: Maßtheorie

Daniel02 aktiv_icon

21:48 Uhr, 01.11.2023

Hey,

Gegeben sei der Maßraum

(ℕ, P (ℕ), v)

wobei v das Zählmaß ist.

A_{n} := {m \in ℕ :

k teilt m für alle

k \leq n}

Berechne

lim_{n \to \infty} v (A_{n})

und

v (\cap_{n \in N} A_{n})

-----------------------------------
Meine Gedanken:

Für

n \to \infty

wird

A_{n}

zur leeren Menge also ist

lim_{n \to \infty} v (A_{n})

=0

mit dem selben Argument wäre aber auch

v (\cap_{n \in N} A_{n}) = 0

stimmt das so?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

22:14 Uhr, 01.11.2023

Es ist

ν (A_{n}) = \infty

für alle

n

, u.a. enthält

A_{n}

ja alle Vielfachen von

n!

(i.a. sogar noch viel mehr, aber das ist ja dann auch egal).

Damit ist natürlich auch

lim_{n \to \infty} ν (A_{n}) = \infty

.

Genauso richtig ist, dass

{(A_{n})}_{n = 1, 2, \dots}

eine monoton fallende Mengenfolge mit leerem Durchschnitt (= Grenzwert) ist, zumindest wenn die natürlichen Zahlen

ℕ

bei dir OHNE Null gemeint sind.

Daniel02 aktiv_icon

23:20 Uhr, 01.11.2023

stimmt ich hatte nicht bedacht dass es nicht immer größer geht, egal wie groß das n gerade ist.

Aber monoton fallende Mengenfolge macht auf sinn weil für alle

x \in A_{n + 1}

gilt k teilt x für alle

k \leq n + 1

und somit auch für alle

k \leq n

\Rightarrow

x \in A_{n}

also:

A_{n + 1} \subseteq A_{n}

Aber ist dann nicht

\cap_{n \in N} A_{n} = lim_{n \to \infty} A_{n}

und somit

v (\cap_{n \in N} A_{n}) = v (lim_{n \to \infty} A_{n}) = \infty

HAL9000

07:12 Uhr, 02.11.2023

Nochmal: Es ist

lim_{n \to \infty} A_{n} = ⋂_{n \geq 1} A_{n} = \emptyset

, und dessen

ν

-Maß dann natürlich gleich Null.

Diese Aufgabe ist ein Beispiel dafür, dass bei nicht-endlichen Maßen auch bei monotonen Mengenfolgen Maß und Grenzwert NICHT vertauschbar sind!!! Du scheinst diese Vertauschung unwillkürlich immer wieder vornehmen zu wollen - dessen musst du dir einfach mal bewusst werden, um das zukünftig zu hinterfragen und (hier bei unendlichen Maßen) dann auch unterlassen.

Daniel02 aktiv_icon

19:46 Uhr, 04.11.2023

Danke!

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