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Zahlen raten

Schüler Gymnasium,

Tags: Stochastik

 
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FeiWei

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17:24 Uhr, 10.06.2013

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Hallo :-)
Hab folgendes Problem/Aufgabe:

" Anke denkt sich eine Zahl zwischen 1 und 10. Jan soll diese Zahl erraten. Hierzu darf er Fragen stellen, die Anke nur mit ja oder nein beantworten kann. 2 Strategien stehen zur Wahl:
1. Die Zahlen werden der Reihe nach abgefragt, bis Anke "ja" sagt oder zum 9. Mal "Nein".
2. Mit jeder Frage wird versucht, möglichst die Hälfte der verbleibenden Zahlen auszusondern.

Welche dieser beiden Strategien sollte Jan wählen?"

Zur ersten Strategie hab ich:
0,19+0,18+0,17+... +0,11=0,111111111
=11,1111111%

mehr bekomme ich nicht hin :(
Danke für Antworten :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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FeiWei

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19:02 Uhr, 10.06.2013

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Kann mir jemand helfen dabei? :-)
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anonymous

anonymous

19:16 Uhr, 10.06.2013

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Hallo
Du schreibst einen Zahlenwert "0.111111" hin. Was soll dieser Zahlenwert repräsentieren?

Ich vermute mal, Jan soll möglichst wenige Fragen stellen.
Und ich vermute weiter, du sollst den Erwartungswert dafür errechnen, wie oft Jan fragen muss, wenn Anke zufällig eine Zahl ausdenkt.

Also, dann überleg mal.

1. Strategie:
Die erste Frage von Jan lautet: "ist die Zahl die 1?"
Die zweite Frage von Jan lautet: "ist die Zahl die 2?"
Die dritte Frage von Jan lautet: "ist die Zahl die 3?"
u.s.w.
Das macht Jan so lange, bis Anke mit "ja" antwortet, oder aber 9 mal. Denn wenn Anke auch nach dem 9. Mal noch mit 'nein' antwortet, dann weiß Jan ja, dass die '10' gemeint ist.

Das ist die Strategie 1 !
Also Fei Wei, wie groß ist nun der Erwartungswert (Anzahl an Fragen).
Überleg dir doch mal:
> wie oft muss Jan fragen, wenn Anke sich die '1' ausdenkt?
> wie oft muss Jan fragen, wenn Anke sich die '2' ausdenkt?
> wie oft muss Jan fragen, wenn Anke sich die '3' ausdenkt?
u.s.w.
Und abschließend, wie hoch ist der Erwartungswert an Anzahl Fragen gemäß dieser Strategie 1?

[Tip: der Erwartungswert liegt zwischen 5. und 6.]

2. Strategie:
Ich empfehle, dir ein Baumdiagramm aufzuzeichnen.
Die erste Frage von Jan könnte lauten: "ist die Zahl kleiner als 5?"
Falls Anke mit 'Nein' antwortet, dann lautet die zweite Frage von Jan: "ist die Zahl kleiner als 9?"
Falls Anke mit 'Ja' antwortet, dann lautet die zweite Frage von Jan: "ist die Zahl kleiner als 3?"
u.s.w.
Na, schaffst du es, das Baumdiagramm zu vervollständigen.
Falls ja, dann geh wieder so vor wie oben.
Überleg dir wiederum gemäß dieser Strategie 2:
> wie oft muss Jan fragen, wenn Anke sich die '1' ausdenkt?
> wie oft muss Jan fragen, wenn Anke sich die '2' ausdenkt?
> wie oft muss Jan fragen, wenn Anke sich die '3' ausdenkt?
u.s.w.
Und abschließend, wie hoch ist der Erwartungswert an Anzahl Fragen gemäß dieser Strategie 2?

FeiWei

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20:01 Uhr, 10.06.2013

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Bei Strategie 1 hab ich dann 5,4 raus. Ist das richtig?
Bei Strategie 2 bin ich noch am kniffeln
?
FeiWei

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20:01 Uhr, 10.06.2013

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Bei Strategie 1 hab ich dann 5,4 raus. Ist das richtig?
Bei Strategie 2 bin ich noch am kniffeln
?
FeiWei

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20:15 Uhr, 10.06.2013

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Kommt bei Strategie 3,4 raus?
FeiWei

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21:54 Uhr, 10.06.2013

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Also ich meinte damit Strategie 2 ;-)
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prodomo

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07:23 Uhr, 11.06.2013

Antworten
Bei Strategie 1 ist die Zahl der benötigten Fragen ebenso hoch wie die gedachte Zahl. Da es 9 Fragen gibt, tritt jede mit 19 Wahrscheinlichkeit auf. Daher ist der Erwartungswert die Summe (1+2+...+8+9)19=5.
Bei Strategie 2 ist es in jedem Fall möglich, mit maximal 4 Fragen auszukommen. Da man immer die Hälfte der Kandidaten ausschließen soll, ist der Verlauf ähnlich wie beim Halbierungsverfahren z.B. für 2. 9 ist aber keine Potenz von 2. Daher kann man keine exakte Halbierung erreichen. Also "Liegt x im Intervall [1;5] ?" Bei "Ja" geht es dann mit "Liegt x im Intervall [1;3] ?" weiter. Danach braucht man noch 2 Fragen. Hätte man "Liegt x[1;2] ?" gefragt, bräuchte man nur noch eine. Also braucht man in 3 Fällen 4 Fragen, sonst 3. Daher ist der Erwartungswert 134+233=103
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Matlog

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11:04 Uhr, 11.06.2013

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Ich halte FeiWeis Ergebnisse für richtig.
In prodomos Rechnungen scheint die Zahl 10 unberücksichtigt geblieben zu sein.
Antwort
Bummerang

Bummerang

11:32 Uhr, 11.06.2013

Antworten
Hallo,

"Ich halte FeiWeis Ergebnisse für richtig.
In prodomos Rechnungen scheint die Zahl 10 unberücksichtigt geblieben zu sein."

Genau so! Er hat bei der 9 übersehen, dass diese Frage sowohl bei der Möglichkeit 9 als auch bei der Möglichkeit 10 gestellt wird. Fügt man die "2*" vor der 9 ein und ändert den Nenner auf 10, erhält man die korrekten 5,4. Bei der 2-ten Art der Befragung hat man im Entscheidungsbaum 10 Blätter, das sind 4 Blätter in der 4-ten Ebene und 6 in der 3-ten Ebene, also braucht man 110(44+63)=11034=3,4 Versuche.
Antwort
anonymous

anonymous

12:18 Uhr, 11.06.2013

Antworten

Ja, ich komme auf das gleiche Ergebnis.

Der Erwartungswert für die Anzahl an Fragen bei Strategie 1 ist: E_1= 5.4

Der Erwartungswert für die Anzahl an Fragen bei Strategie 2 ist: E_2= 3.4



Bleibt abschließend zu hoffen, FeiWei, dass du nun die Aufgabenstellung lösen kannst, nämlich:

"Welche dieser beiden Strategien sollte Jan wählen?"

Antwort
celifion

celifion aktiv_icon

08:49 Uhr, 09.04.2021

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Es sind sowohl 5 als auch 5,4 richtig.
Die 10. Frage ist generell überflüssig. Man kann sie stellen, muss man aber nicht. Hab ich 9 Fragen gestellt, weiß ich ja automatisch, dass es die 10 sein muss und stelle die 10. Frage nicht. Andererseits kann ich die Frage nach der letzten Ziffer stellen, dann hab ich eben 10 Fragen.
Ich verstehe allerdings nicht, warum ihr 92 rechnet. Stelle ich die 10. Frage, dann muss ich ...+9+10 rechnen. Bei 9 und 10 hab ich ja nicht die gleiche Frage, warum sollte ich zwei mal die gleiche Frage stellen?
Antwort
HAL9000

HAL9000

11:34 Uhr, 09.04.2021

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> Welche dieser beiden Strategien sollte Jan wählen?

Eigentlich fehlt hier der Halbsatz "... um im Mittel mit möglichst wenig Fragen auszukommen". Man mag für selbstverständlich halten, dass dies das Ziel ist, aber es schadet dennoch nicht, das in der Problemstellung klar zu artikulieren.

Antwort
celifion

celifion aktiv_icon

11:52 Uhr, 09.04.2021

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Wenn wir von 9 Fragen ausgehen, dann lautet die richtige Antwort allerdings 5, nicht 5,4.
Antwort
Matlog

Matlog aktiv_icon

11:53 Uhr, 09.04.2021

Antworten
Wow, das ist fast acht Jahre her!

@celifion:
Du liegst damit falsch!

Die Strategie 1 ist eindeutig formuliert. Die 10. Frage wird nicht mehr gestellt.
Aber gerade dadurch ist der Erwartungswert für die Anzahl der gestellten Fragen 5,4.
(Er wäre 5,5 mit der 10. Frage, wie du richtig anmerkst.)

9 gestellte Fragen hat nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit wie die anderen Anzahlen!
Der Zufall liegt nicht bei Jan. Der folgt nur streng seiner Strategie.
Der Zufall liegt bei Anke. Wir gehen davon aus, dass Anke keine Lieblingszahl hat, sondern sich "zufällig" eine Zahl zwischen 1 und 10 aussucht, also jeweils mit Wahrscheinlichkeit 110.
Je nach ausgedachter Zahl stellt Jan jetzt 1,2,3,4,5,6,7,8,9 oder 9 Fragen.
Antwort
HAL9000

HAL9000

13:13 Uhr, 09.04.2021

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> Wow, das ist fast acht Jahre her!

Huch, war mir gar nicht aufgefallen. Man sollte eben doch nicht nur auf Datum/Zeit des letzten Postings achten. Mit Matlogs ausführlicher Erläuterung ist celifion sich nun hoffentlich ihres Zähl- bzw. Denkfehlers bei Nr.10 bewusst.

Antwort
celifion

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18:23 Uhr, 09.04.2021

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Ahhh, ok, du meinst weil Anke bei der 9. Frage sowohl mit JA als auch mit NEIN antowrten kann, beides ergibt unterschiedliche Pfade mit gleicher Wahrscheinlichkeit?
Antwort
Matlog

Matlog aktiv_icon

19:07 Uhr, 09.04.2021

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Ja, deine Argumentation ist schon richtig.

Du stellst dir offensichtlich immer noch einen Baum vor, wo es für jede Frage eine neue Stufe im Baum gibt. In diesem Baum geht es natürlich immer nur weiter, solange alle bisherigen Antworten Nein sind.

Aber eigentlich ist das doch gar nicht so! Anke gibt doch nicht bei jeder Frage erneut eine zufällige Antwort.
Mein Baum hat nur eine einzige Stufe mit zehn Verzweigungen für jede Zahl, die Anke sich ausdenken kann, jede mit Wahrscheinlichkeit 110.
Alles weitere ist rein deterministisch (ohne Zufall). Jan stellt seine Fragen gemäß seiner gewählten Strategie und Anke antwortet wahrheitsgemäß. Und für jeden der zehn Fälle kann man ganz einfach schauen, wieviele Fragen Jan bei seiner Strategie stellen wird und dann den Erwartungswert für die Anzahl der Fragen berechnen.

Zu deinem Baum:
Wenn Anke die erste Frage mit Nein beantwortet hat (mit Wahrscheinlichkeit 910), dann weißt du die Wahrscheinlichkeit für ein Ja bei der zweiten Frage (19) nur deshalb, weil 91019=110 ergibt.
Natürlich kann man das so sehen, ich finde das aber viel zu kompliziert!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.