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Zahlenfolge (Streichhölzer)

Universität / Fachhochschule

Rekursives Zählen

Tags: explizite Form, Rekursives Zählen

 
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Sterni194

Sterni194 aktiv_icon

09:43 Uhr, 15.01.2019

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Hallo Ihr Lieben,

folgende Aufgabe war in meiner letzten Klausur (siehe Bild 1). Wir sollten für dieses Streichholzbild eine explizite Beschreibung finden. Ich habe mir überlegt, dass immer ein Quadrat also (4 Streichhölzer bleiben) und immer (n-1)3 Streichhölzer hinzukommen. Außerdem ist mir aufgefallen, dass die Anzahl der Quadrate die Dreieckszahlen sind und bin zu folgender Formel gekommen: (nn+12)(4+(n-1)3) stimmt das denn so ?

Außerdem hatten wir auf einem Übungsblatt folgende Darstellung (siehe Bild 2). Ich habe mir überlegt, ob man das auch mit der Angabe Breite n und Länge m berechnen könnte. Ich bin leider noch nicht wirklich weit gekommen. Denn bei der Aufgabe auf dem Übungsblatt ist die Länge und Breite ja regelmäßig, was hier nicht so ist.

Danke für Eure Antworten!

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HAL9000

HAL9000

16:44 Uhr, 16.01.2019

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Ich sehe da in Bild 1 nur n direkt nebeneinander liegende Quadrate, also nur in einer Reihe platziert. Die Formel 4+(n-1)3=3n+1 liefert da die richtige Anzahl, Ok. Und es ist Spezialfall m=1 (für 1 Reihe) der im zweiten Bild stehenden Anzahlformel n(m+1)+m(n+1).

Was du aber mit dem ominösen Term (nn+12)(4+(n-1)3) bezweckst, vermag ich beim besten Willen nicht zu erkennen.
Sterni194

Sterni194 aktiv_icon

18:24 Uhr, 16.01.2019

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Mit diesem Term 4+(n−1)⋅3=3n+1 habe ich ja nur die Anzahl für ein n ausgerechnet. Ich brauche aber eine Formel um von n auf alle Streichhölzer bis zu diesem n zu kommen. Ich verstehe nicht wirklich wie ich da zu einer Formel kommen kann.
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ledum

ledum aktiv_icon

18:43 Uhr, 16.01.2019

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Hallo
nein, du hast mit der Formel die Gesamtzahl ausgerechnet, du has insgesamt n3 Streichhölzer +1 weiteres am Anfang
also 3n+1 oder für das erste Quadrat 4 für jedes weitere 3 also 4+3(n-1)=3n+1
Gruss ledum
Sterni194

Sterni194 aktiv_icon

19:15 Uhr, 16.01.2019

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Ich meine damit, wenn ich z.B. n=2 ausrechen muss ich nicht 2 Quadrate ausrechnen, sondern 3. Das ist mein Problem... weiß nicht ob ihr versteht, was ich meine.
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Matlog

Matlog aktiv_icon

19:18 Uhr, 16.01.2019

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Du hast leider die konkrete Aufgabenstellung nirgendwo erwähnt!

Das bisher gezeigte 3n+1 ist die Anzahl der benötigten Streichhölzer für die n-te Zeile.

Wenn du tatsächlich alle nötigen Streichhölzer BIS zur n-ten Zeile berechnen sollst, dann ist dein Versuch falsch. Das würde doch bedeuten, dass jedes einzelne vorkommende Quadrat 3n+1 Hölzer benötigt!

Richtig wäre dann:
k=1n(3k+1)=n+3k=1nk
Und du scheinst ja zu wissen, wie man diese letzte Summe noch ausrechnen kann!
Sterni194

Sterni194 aktiv_icon

17:00 Uhr, 18.01.2019

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was genau meinst du mit k ?
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Matlog

Matlog aktiv_icon

20:46 Uhr, 18.01.2019

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Das k kommt von der k-ten Zeile.
k=1n... bedeuted dann, dass die Anzahl der Streichhölzer von der ersten bis zur n-ten Zeile aufsummiert werden; also erst k=1, dann k=2,k=3,... bis zuletzt k=n.

Wenn dir die Schreibweise mit dem Summenzeichen nicht geläufig oder zu verwirrend ist, dann kann man das auch anders erklären:
Du hast selbst schon gesagt, dass es in allen Zeilen zusammen (bis zur n-ten Zeile) insgesamt
nn+12 Quadrate gibt.
Für jedes dieser Quadrate brauchst du drei Streichhölzer, für das erste Quadrat in jeder Zeile aber vier Stück.
Dieses vierte Streichholz ist also in jeder Zeile ein Mal notwendig, bei n Zeilen also n Stück.

Kannst du jetzt die Formel aufstellen?
Sterni194

Sterni194 aktiv_icon

19:00 Uhr, 19.01.2019

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Die Formel müsste ja dann 3(nn+12)+n heißen oder ?
Antwort
Matlog

Matlog aktiv_icon

19:04 Uhr, 19.01.2019

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Ja, gut!
Das passt so!
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