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Zahlenmauer Formel Herleitung Zielstein

Lehrer

22:26 Uhr, 03.05.2021

Hallo, es geht um das Übungsformat 'Zahlenmauer'. Es geht um die Herleitung folgender Formel:

n + \frac{2}{2} \cdot n + \frac{2}{2}

für n=gerade
Bei der Aufgabe geht es darum, zu einem gegebenen Deckstein, die Anzahl der Mauern zu bestimmen. Angenommen der Deckstein ist

6,

sind es dann

16

mögliche Mauern.

Wie kann man sich die Formel herleiten?

Vielen Dank

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

23:01 Uhr, 03.05.2021

Es ist nur eine Seite zu sehen. Das reicht nicht, um Aufgabe zu verstehen.

23:10 Uhr, 03.05.2021

Hier ist das andere Bild.

23:53 Uhr, 03.05.2021

Wenn unten die Zahlen

a, b, c

stehen, dann steht oben

a + 2 b + c

.

Wenn jetzt

n

gerade ist, also

n = 2 k

, muss die Frage beantwortet werden, auf wie viele Arten kann man

2 k = a + 2 b + c

schreiben.

Wenn man

b

schon gewählt hat, dann hat man

a + c = 2 (k - b)

und also

2 (k - b) + 1

Möglichkeiten,

a

und

c

zu wählen (

a = 0, c = 2 (k - b)

oder

a = 1, c = 2 (k - b) - 1

oder... oder

a = 2 (k - b), c = 0

). Für

b

hat man aber

k + 1

Möglichkeit:

0, 1, . . ., k

.

Damit hat man insgesamt

\sum_{b = 0}^{k} (2 (k - b) + 1)

Möglichkeiten und es gilt

\sum_{b = 0}^{k} (2 (k - b) + 1) = 2 \sum_{b = 0}^{k} (k - b) + k + 1 = 2 \sum_{b = 0}^{k} k - 2 \sum_{b = 0}^{k} b + k + 1 =

= 2 k (k + 1) - k (k + 1) + k + 1 = k (k + 1) + k + 1 = (k + 1)^{2}

. Was auch zu beweisen war.

08:51 Uhr, 04.05.2021

Viele Dank für die schnelle Rückmeldung :-)

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