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Zahlenreihe fortsetzen

Schüler Förderschule (beruflich), 10. Klassenstufe

Tags: fortsetzen, logik, Zahlenreihe

PokerSpirit9 aktiv_icon

16:04 Uhr, 14.06.2008

Hallo Leute

Ich brauche hilfe bei folgenden beiden zahlenreihen. Die sind vermutlich nicht besonders schwer ich komme aber nicht auf die Lösung. Also falls mir jemand weiterhelfen kann bitte mit Erklärung.

1; 89; 9; 84; 64; 79; x

und

1; 2; 10; 11; x; x

Gruß

Pokerspirit9

Schneiderl aktiv_icon

19:53 Uhr, 14.06.2008

Die untere ist:

1; 2; 10; 11; 19; 20,

+ 1 + 8 + 1 + 8 . .

.

in der oberen finde ich auch keinen zusammenhang

m-at-he

21:42 Uhr, 14.06.2008

Hallo,

bei scheinbar unmöglichen Zahlenfolgen sollte man den folgenden Trick anwenden, der (richtig angepaßt) immer hilft, damit ist man schneller als sich stundenlang den Kopf zu zerbrechen:

Alle Zahlenfolgen beginnen mit dem Index

n = 0 :

1; 89; 9; 84; 64; 79; x

explizite Bildungsvorschrift:

(- \frac{(n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) \cdot (n - 4) \cdot (n - 5)}{120 \cdot sin (2^{- 6} \cdot π)} \cdot 1

+ \frac{n \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) \cdot (n - 4) \cdot (n - 5)}{24 \cdot sin (2^{- 5} \cdot π)} \cdot 89

- \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 3) \cdot (n - 4) \cdot (n - 5)}{12 \cdot sin (2^{- 4} \cdot π)} \cdot 9

+ \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 4) \cdot (n - 5)}{12 \cdot sin (2^{- 3} \cdot π)} \cdot 84

- \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) \cdot (n - 5)}{24 \cdot sin (2^{- 2} \cdot π)} \cdot 64

+ \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) \cdot (n - 4)}{120 \cdot sin (2^{- 1} \cdot π)} \cdot 79) \cdot sin (2^{n - 6} \cdot π)

Damit ergibt sich für

x

(und für aller weiteren Folgenglieder), daß der letzte Faktor Null wird, weil das Argument des Sinus immer ein ganzzahliges Vielfaches von

π

ist, und damit sind alle weiteren Folgeglieder gleich Null.

1; 2; 10; 11; x; x

(- \frac{(n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3)}{6 \cdot sin (2^{- 4} \cdot π)} \cdot 1

+ \frac{n \cdot (n - 2) \cdot (n - 3)}{2 \cdot sin (2^{- 3} \cdot π)} \cdot 2

- \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 3)}{2 \cdot sin (2^{- 2} \cdot π)} \cdot 10

+ \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)}{6 \cdot sin (2^{- 1} \cdot π)} \cdot 11) \cdot sin (2^{n - 4} \cdot π)

Damit ergibt sich für beide

x

(und für aller weiteren Folgenglieder), daß der letzte Faktor Null wird, weil das Argument des Sinus immer ein ganzzahliges Vielfaches von

π

ist, und damit sind alle weiteren Folgeglieder gleich Null.

Waluigi aktiv_icon

07:59 Uhr, 15.06.2008

Hallo Mathe!

Ich würde Dir gerne eine Frage stellen: Wie kommst Du auf diese Formeln?

Das ist für mich einfach nicht nachvollziehbar.

Es wäre nett von Dir, wenn Du mir das erklären könntest.

Habe ich Dich richtig verstanden, daß die nachfolgenden Folgenglieder Null sind?

Macht das einen Sinn?

Ich würde mich über eine Rückantwort sehr freuen.

Liebe Grüße sendet Dir
Uwe

m-at-he

09:57 Uhr, 15.06.2008

Hallo,

"Wie kommst Du auf diese Formeln?"

Sie waren ein Produkt der Not! Als im Matheunterricht mal wieder die Hölle los war, meinte unser Lehrer, daß wir nachsitzen müßten und dort eine Arbeit schreiben würden. Wer fertig sei sollte gehen können. Leider hatte ich gerade an dem Tag etwas vor, daß ich mir mehr als

20

Minuten Verspätung nicht leisten konnte. Also habe ich 5 Minuten nachgedacht und in

10

Minuten die Lösungen nur noch zu Papier gebracht. Mein Termin war gerettet! Mein Ansatz war: Alle Folgeglieder sollen Null werden. Das läßt sich am Einfachsten dadurch realisieren, indem man eine Folge findet, die für ganze Zahlen ab einem bestimmten Wert Null wird und für alle anderen, kleineren Zahlen sicher ungleich Null ist. Da viel mir mit dem ganzzahligen Vielfachen von

π

spontan die Sinusfunktion ein. Das Ganzzahlig ab einem bestimmten

n

ist logischerweise am einfachsten mit einer beliebigen ganzzahligen positiven Potenz (ungleich 1 versteht sich!), bei der im Exponenten eine ganze Zahl abgezogen wird. Und der Rest ist ganz einfach der allgemeine Ansatz für ein Polynom, das durch

n

Stützpunkte gehen soll, den sollte man eigentlich bereits gehabt haben. Das Einzige, was man noch beachten muß, ist der "Fehler" den der Faktor mit der Sinusfunktion für die einzelnen Werte macht, den muß man natürlich wieder rauskürzen! Fertig!

"Das ist für mich einfach nicht nachvollziehbar."

DerWeg zu der Formel? Der steht oben! Das sie stimmt? Setze doch ein!

"Es wäre nett von Dir, wenn Du mir das erklären könntest."

Bitte!

"Habe ich Dich richtig verstanden, daß die nachfolgenden Folgenglieder Null sind?"

Ja, das war ja der Sinn. Eine Teilaufgabe damals lautete, die

10

folgenden Glieder zu bestimmen. Was glaubst Du, wie schnell ich mit dieser Teilaufgabe fertig war!

Macht das einen Sinn?

Da gibt es 2 Antworten:

1. Mathematisch ist das korrekt, die vorgegebenen Folgenglieder werden exakt durch die angegebene Vorschrift erzeugt!

2. Menschlich kann diese Lösung zu extremen Spannungen mit dem Lehrer/der Lehrerin führen, wenn man dieses Schema immer,

d . h

. auch für Folgen der Art

1; 2; 4; 8; 16

oder

2; 4; 6; 8; 10

anwendet. Auch glaub ich nicht, daß in solchen trivialen Fällen dieses Schema wirklich schneller ist. Das ist erst dann der Fall, wenn man noch die Summenformel bilden muß, den Beweis führen soll, daß diese Summenformel stimmt und den Grenzwert gegen unendlich berechnen soll. Analog zur Vorschrift der Folge findet man die zur Summe. Man muß einfach nur die ersten

n

Summenglieder berechnen und statt der Folgenglieder muß man dies Differenz aus der Endsumme aller

n

Glieder und der Teilsumme bis zu diesem Glied einsetzen und vor das Ganze schreibt man dann die Endsumme aller glieder und zieht die angepaßte Vorschrift ab! Einfach abschreiben und

n

Zahlen berechnen und einsetzen, Vorschrift anpassen, einfacher geht's nicht! Der Beweis ist auch einfach, man setzt die ersten

n

Glieder ein und schreibt das Ergebnis hin. Nachrechen? Nicht nötig! Dann zeigt man kurz, daß all alle Folgeglieder des Subtrahenten Null werden und schon ist man fertig. Grenzwert? Gleich Summe der vorgegebenen Glieder!

Beispiel:

1; 2; 10; 11; x; x

24 - (- \frac{(n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3)}{6 \cdot sin (2^{- 4} \cdot π)} \cdot 23

+ \frac{n \cdot (n - 2) \cdot (n - 3)}{2 \cdot sin (2^{- 3} \cdot π)} \cdot 21

- \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 3)}{2 \cdot sin (2^{- 2} \cdot π)} \cdot 11

+ \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)}{6 \cdot sin (2^{- 1} \cdot π)} \cdot 0) \cdot sin (2^{n - 4} \cdot π)

Den letzten Summanden könnte man sich schenken, aber dann muß man die Faktoren im Nenner der Brüche auch wieder berechnen, der Aufwand sollte aber minimiert werden!

Im Prinzip handelt es sich hier um ein Verfahren der Extrapolation. Welcher Weg im konkreten Praxisfall der richtige ist, kann man anhand der Struktur der Daten und dem allgemeinen Verhalten des beobachteten und gemessenen Objekts ermitteln. Hier hat man nur Zahlen, die Mittel können deshalb nicht eingeschränkt sein. Aber ich wiederhole es noch einmal. Probleme mit Lehrkräften sind vorprogrammiert und die muß man aushalten können. Deshalb mein Rat: Nur dann, wenn nichts mehr geht! Mit der Lehrkraft nachträglich aushandeln, daß das Ergebnis nicht falsch ist! Versprechen, daß man dieses Schema nicht bei erkennbaren Folgen einsetzt!

. .

Waluigi aktiv_icon

10:25 Uhr, 15.06.2008

Hallo Mathe!

Vielen Dank für die schnelle und sehr ausführliche Antwort inkl. Erklärung.

Genialer Ansatz. Jeder Mathelehrer würde vor Freude im Dreieck springen.

Dein Schulerlebnis erinnert mich an das vom kleinen "Gauß" (Addition der ersten 100 natürlichen Zahlen). Bleib ja so wie Du bist.

Ich wünsche Dir alles Gute und noch einen schönen Sonntag.

Liebe Grüße sendet Dir

Uwe

philxhunter aktiv_icon

15:20 Uhr, 22.01.2009

Hey,
Dieser Lösungsanstz ist, auch wenn ich Teile der Ausführungen nicht hundertprozentig verstehe, genial! Hast Du mal deinen IQ testen lassen? Würde mich interessieren,
lg Philipp

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