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Hallo, ich habe eine arithmetische Funktion Zeigen möchte ich, dass Ob beide Richtungen gelten, bin ich etwas unsicher. Gruß Sukomaki Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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sowie gelten beide IMMER, auch bei mit . Insofern ist diese deine Äquivalenzaussage sicher falsch. Meinst du rechts womöglich stattdessen ? Dann gilt zumindest , basierend auf . |
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> sowie gelten beide IMMER Wie lässt sich das beweisen : direkt, Induktion oder durch Widerspruch? Oder vielleicht mittels geometrischer Reihe? Ja, ich meine natürlich rechts Ich dachte das wäre dasselbe wie Ist aber wohl nicht so. Gegenbeispiel : , aber nicht > Dann gilt zumindest Gilt denn auch ? Kannst Du bitte ein wenig detaillierter ausführen? |
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Ja, Partialsummenformel der geometrischen Reihe ist das richtige Stichwort. Die ggT-Aussage ist einigermaßen raffiniert und geht gewissermaßen auf den euklidischen Algorithmus zurück: O.B.d.A. sei , dann gilt . Zusammen mit Symmetrie folgt dann in Analogie zum euklidischen Algorithmus nach endlich vielen Schritten . Der Beweis ist übrigens nicht an Basis 2 gebunden, man kann auch jede andere positive ganze Zahl dort nehmen. > Gilt denn auch ? Wenn ich das wüsste, hätte ich es gesagt. Hab zumindest auf die Schnelle kein Gegenbeispiel gefunden, aber das muss nichts heißen. |
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Das mit der Teilbarkeit ist im Prinzip recht einfach : Es sind und Wenn jetzt dann ist auch Begründung : Es ist denkbar, dass in und jeweils vorkommt (Vielfachheit ). Dann muss der Primfaktor in mindestens mal vorkommen. Das ist nicht selbstverständlich. Kommen alle nur in oder vor, so entspricht die Primfaktorzerlegung von dem Produkt der Primfaktorzerlegung von multipliziert mit der Primfaktorzerlegung von multipliziert mit einem Restfaktor. Es gilt also : Den an Euklid angelehnten "Algorithmus" verstehe ich. Der Schritt mit ist clever. (Hier kommt ins Spiel) Er basiert auf Nun gut : Jetzt haben wir Sollte recht einfach sein, daraus zu folgern, aber irgendwie habe ich einen Knoten im Hirn :-D) |
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Für teilerfremde folgt aus und sofort , das ist eine recht elementare Teilbarkeitsaussage. Allgemein gilt lediglich . |
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Danke, diese Umformung hatte mir zum Verständnis gefehlt. Habe ich denn richtig verstanden, dass wobei die Basis 2 unabdingbar ist oder habe ich da etwas übersehen? |
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Naja, für jede Basis gilt gemäß obiger Aussage , im besonderen eben auch für . |
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Danke sehr, dann passt das ja. Wieder etwas dazugelernt. Aber auf welche obige Aussage beziehst Du Dich? |
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> Der Beweis ist übrigens nicht an Basis 2 gebunden, man kann auch jede andere positive ganze Zahl dort nehmen. Übersetzt: |
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Ich danke Dir. Das ist schon komisch mit mir, oder? Ich meine, einerseits fällt mir mancher Uni-Stoff relativ leicht und andererseits sehe ich von Zeit zu Zeit die einfachsten Zusammenhänge nicht. Ich hoffe, ich nerve Dich nicht mit meinen einfachen Fragen :-D) |
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Genervt bin ich allenfalls, wenn ich Dinge mehrfach wiederholen muss, bis sie überhaupt registriert werden. Das ist bisher hier noch nicht vorgekommen, daher alles gut. |
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