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Zariski Topologie
Universität / Fachhochschule
Algebraische Topologie
Tags: Algebraische Topologie
 
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Hallo zusammen Ich habe eine Frage zur Zariski-Topologie. Wir haben die Zariski-Topologie so definiert, dass eine Menge dann abgeschlossen ist, wenn sie als Nullstellenmenge eines Polynoms definiert werden kann. Zusätzlich ist es ja so, dass eine Menge abgeschlossen ist, wenn ihr Komplement offen ist. Die offenen Mengen der Zariski-Topologie sind Ø, IR und IR\F, wobei endlich. Meine Frage ist jetzt: Ist IR bezüglich der Zariski-Topologie abgeschlossen? Ich bin da im Dilemma, denn einerseits... kann IR nicht als Nullstellenmenge eines Polynoms geschrieben werden (Definition der Zariski-Topologie und wäre somit nicht abgeschlossen), Andererseits... Ist das Komplement von IR die leere Menge, die ja ihrerseits offen ist, was bedeuten würde, dass IR tatsächlich abgeschlossen wäre. Schlussendlich soll ich entscheiden, ob IR IR, konstant) bzgl. der Zariski-Topologie stetig ist oder nicht. Meine Überlegung: Das Urbild von (eine abgeschlossene Menge) ist IR, falls IR abgeschlossen wäre, wäre stetig, falls IR nicht abgeschlossen, wäre nicht stetig. Könnt ihr mir weiterhelfen, und mich auf etwaige Denkfehler aufmerksam machen? Vielen Dank! Corrado Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Es gibt doch ein Polynom, dass als Nullstellenmenge hat. |
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Ach so, das konstante Polynom ist ja klar! Das heisst wäre somit stetig? Denn nimmt man eine beliebige abgeschlossene Menge so ist das Urbild entweder IR oder die leere Menge, welche somit beide abgeschlossen wären. |
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Ja das stimmt. Polynome sind übrigens immer stetig bezüglich der Zariski-Topologie. |
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Also so: Sei abgeschlossen. Fall 1: , dann . Fall 2: , dann . Da und beide abgeschlossen sind, ist f stetig. Ist das so formal korrekt? Vielen Dank für die Hilfe! |
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Genau so kann man es machen. Man sieht nun auch schön, dass man anfangs als beliebige offene Menge hätte definieren können. Die Urbildmengen und sind beide auch offen, daher hätte das genauso funktioniert. Edit: Allerdings meinst du sicherlich nicht sondern... ;-) |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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