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Zeichne Lösungsmenge in Gaußsche Zahlenebene

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Gausssche Zahlenebene, Komplexe Zahlen, Lösungsmenge

Steeeve2 aktiv_icon

16:26 Uhr, 29.03.2012

Hallo zusammen,

die Aufgabe, die mir Kopfzerbrechen bereitet ist folgende:

Für welche

z \in ℂ

gilt:

i \cdot | z | = \bar{z}

Skizzieren Sie die Lösungsmenge der Gleichung in der Gaußschen Zahlenebene!

Ich komm nicht bis dahin, wo ich zeichnen könnte.
Ich weiß leider nicht so recht wie ich da ran gehen soll. Gibt es ein logisches Muster nach dem man Vorgehen sollte?

Was ich weiß:

z = a + b i

\bar{z} = a - b i

| z | = \sqrt{z \cdot \bar{z}}

also gilt:

z \cdot \bar{z} = (a + b i) (a - b i)

z \cdot \bar{z} = a^{2} + b^{2}

weiter komme ich in meinen Überlegungen nicht.

Danke schon mal vorab.

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:34 Uhr, 29.03.2012

Hallo,

z = a + i b

ist doch schon der richtige Anfang.

∣ z ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

kann man wissen,

i ∣ z ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} i

demnach.

\overline{z} = a - i b

Also muss gelten:

\sqrt{a^{2} + b^{2}} i = a - i b

Kannst du von hier ab selbst?

Mfg Michael

Bummerang

17:00 Uhr, 29.03.2012

Hallo,

i \cdot | z | = \bar{z}

Ich denke, das geht einfacher und ohne viele Formeln.

Da steht links eine komplexe Zahl ohne Realteil und mit nichtnegativem Imaginärteil. Das selbe steht auch rechts! Eine komplexe Zahl mit Realteil

a = 0

und Imaginärteil

- b \geq 0,

also

b \leq 0

. Dann sind doch alle

z,

die diese Gleichung erfüllen, die komplexen Zahlen auf der negativen Imaginärachse und dazu kommt

z = 0!

Steeeve2 aktiv_icon

11:30 Uhr, 30.03.2012

Ich verstehe anhand der Aufgabe leider nicht worauf ich hinarbeiten muss.

Ziel sollte doch einen Realteil und einen Imaginärteil zu bestimmen, richtig?

Die aufstellung von MichaL verstehe ich:

\sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot i = a - i b

also:

(a^{2} + b^{2}) \cdot i^{2} = {(a - i b)}^{2}

- a^{2} - b^{2} = a^{2} - 2 a i b + {(i b)}^{2}

- a^{2} - b^{2} = a^{2} - 2 a i b - b^{2}

da kürzt sich das

b

weg:

- a^{2} = a^{2} - 2 a i b - b^{2}

und jetzt heng ich wieder.. oder es ist komplett falsch was ich da jetzt noch gemacht hab.

Bummerang

12:40 Uhr, 30.03.2012

Hallo,

bis zu Satz "da kürzt sich das

b

weg:" richtig (wobei ich nicht "kürzt sich

. .

. weg" sondern besser

z . B

. "hebt sich

. .

. weg" schreiben würde), aber dann nimmst Du das

- b^{2}

nur auf der linken Seite weg und nicht auf der rechten! Korrekt würde sich ergeben:

- a^{2} = a^{2} - 2 \cdot a \cdot i \cdot b

Der Term auf der linken Seite ist eine reelle Zahl, also muß

2 \cdot a \cdot i \cdot b

Null sein,

d . h

a = 0

oder

b = 0

. Wenn nun

b < > 0

ist, ist die Gleichung mit

a = 0

erfüllt! Wenn

b = 0

ist, dann bleibt

- a^{2} = a^{2}

stehen und das ist nur erfüllt für

a = 0

. In jedem Fall ist

a = 0

. Aber das weißt Du ja bereits durch meine Überlegung. Wenn

a = 0

ist, dann ist aber

b

durc

h

nichts in dieser letzten Gleichung beschränkt, also vollkommen beliebig. Leider bist Du zu dieser Gleichung durch nichtäquivalente Umformungen gekommen (quadrieren) und Du hast Dir Scheinlösungen eingefangen. Du müßtest jetzt die Teillösung

a = 0

in die Ausgansgleichung vor dem Quadrieren einsetzen und die korrekten

b

in einem zweiten Rechenschritt errechnen:

\sqrt{0^{2} + b^{2}} \cdot i = 0 - i \cdot b

\sqrt{b^{2}} \cdot i = - i \cdot b

| b | \cdot i = - i \cdot b

| b | = - b

Damit ist klar, dass

b \leq 0

sein muß, aber auch das weißt Du ja schon!

Insgesamt viel Aufwand, findest Du nicht? Mathematik heißt nicht notwendigerweise "Rechnen mit Formeln, koste es was es wolle", Mathematik heißt auch, logische Schlüsse ziehen und sich das Rechnen so zu vereinfachen oder im Extremfall sogar zu ersparen!

Steeeve2 aktiv_icon

09:15 Uhr, 31.03.2012

Hallo,

und vielen Dank für eure Antworten.

Das Thema "komplexe Zahlen" ist für mich absolutes Neuland, deswegen fällt es mir anscheinend ziemlich schwer.

@Bummerang: Kannst Du mir Deine Kurzversion noch mal erklären?

"Da steht links eine komplexe Zahl ohne Realteil und mit nichtnegativem Imaginärteil. Das selbe steht auch rechts! Eine komplexe Zahl mit Realteil

a = 0

und Imaginärteil -b≥0, also b≤0. Dann sind doch alle

z,

die diese Gleichung erfüllen, die komplexen Zahlen auf der negativen Imaginärachse und dazu kommt z=0!"

Bezeichnest Du

i \cdot | z |

als komplexe Zahl ohne Realteil und nicht negativem Imaginärteil? Oder meinst Du dass

i

der nichtnegative Imaginärteil ist und

a = 0

also kein Realteil? Aber was ist dann mit

| z |

?

Warum steht das selbe rechts? da steht

\bar{z} -

das ist doch die konjugiert komplexe Zahl

a - i b

. Wieso kann ich jetzt sagen, dass ist das gleiche wie links?

"Dann sind doch alle

z,

die diese Gleichung erfüllen, die komplexen Zahlen auf der negativen Imaginärachse und dazu kommt z=0!"

\to

WARUM?

Tut mir Leid - für die vielen Fragen, ich möcht es doch nur verstehen :-)

Gruß

Paulus

11:54 Uhr, 31.03.2012

Hallo Steeve2

vielleicht darf ich mal?

| z |

ist doch eine reelle Zahl, die nicht negativ ist.

Ein paar Beispiele:

0.0

1.5

2.0

3.7

Nun steht links aber

i \cdot | z |

Mit obigen Beispielen:

0 \cdot i

1.5 \cdot i

2 \cdot i

3.7 \cdot i

Zeichne diese mal in der Ebene ein. Die liegen doch alle auf der nicht-negativen imaginären Achse.

Wenn du die Beispiele nun mal abstrakterweise gedanklich erweiterst, dann erkennst du sicher, dass die ganze positive imaginäre Achse bevölkert wird, plus der Nullpunkt.

Warum steht rechts das Gleiche?

WEIL ZWISCHEN LINKS UND RECHTS EIN GLEICHHEITSZEICHEN STEHT!

Das ist ja das Wesen des Geichheitszeichens: die beiden Ausdrücke links und rechts sind das Gleiche!

Links hat du also die nichtnegative imaginäre Achse, und diese soll gerade

\bar{z}

sein.

Beantworte also einfach die Frage: von welchen

z

liegt die konjugiert-komplexe Zahl

\bar{z}

auf der positiven imaginären Achse (und Null)?

Findest du die Antwort?

Gruss

Paul

Steeeve2 aktiv_icon

18:54 Uhr, 01.04.2012

Vielen Dank auch nochmal für die letzte Antwort - ich denk jetzt hats auch bei mir geklickt. :-) Manchmal brauch man die gaaaaanz ausführliche Variante.

Hab alles mal eingezeichnet wie Du geschrieben hast..

..demzufolge habe ich eine Gerade, welche direkt auf der Imaginärachse verläuft und dem Koordinatenursprung entspringt.

wenn ich von der Normalform

z = a + i \cdot b

ausgehe, dann gilt für

\bar{z} = | z | \cdot i \to a = 0

und

b \in ℝ +

Da die Aufgabenstellung eine Zeichnung verlangt, zeichne ich einfach eine Gerade auf die Imaginärachse.

Ein schönes Rest-WE!

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