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Zeige E ist vollstaendig

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Algebraische Topologie

Tags: Algebraische Topologie

 
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Ulrich1666

Ulrich1666 aktiv_icon

18:34 Uhr, 24.07.2021

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Hallo,
ich habe nur eine Verstaendnisfrage:
Mir ist net so ganz klar wieso man fuer jede natuerliche Zahl n ein yn in F waehlen kann mit xn-yn<1n.
Liegt das an der Dichtheit von F in E, dass es also fuer ein x1 in E eine Folge (y1) gibt mit y1x1 und fuer x2E gibt es eine weitere Folge (y2) mit y2x2 etc... .

Screenshot (103)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

03:38 Uhr, 25.07.2021

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Hallo,

ja, es liegt daran, dass F dicht in E liegt.

Offenbar habt ihr "dicht" derart beschrieben, dass es zu jedem xE eine Folge (xn)n in F (!) gibt mit limnxn=x.

Wir betrachten die Folge (xn)nN* aus deinem Schnipsel.

Nun gibt es also zu jedem xn eine Folge (xm)m mit limmzm=xn.

Inbesondere gibt es also ein N, sodass zm-xn<1n gilt für mN.

Also kannst zu yn aus der Menge {zmmN} beliebig wählen.

Mfg Michael
Ulrich1666

Ulrich1666 aktiv_icon

10:54 Uhr, 25.07.2021

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Hallo michaL,
ich danke dir erstmal fuer deine Hilfe. Die Grundidee habe ich verstanden, allerdings nicht so ganz die Notation, ich habe es folgendermassen aufgefasst:

Sei (xn) eine Folge in E. Da F dicht in E ist, gibt es also fuer jedes natuerliche n eine Folge (xmn) mit xmnxn.
Damit gibt es ein natuerliches N, sodass fuer nN gilt xmn-xn<1/n.
Daher kann man nun yn aus der Menge {xmnnN} auswaehlen.

Also ist fast dasselbe nur eine Frage des Formalismus.


Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

10:59 Uhr, 25.07.2021

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Hallo,

tja, ich würde es nicht so aufschreiben. Aber das ist vermutlich Geschmackssache.
Letztlich ist die Idee wichtig. Und die kann man auch bei deiner Notation erkennen.

Mfg Michael
Frage beantwortet
Ulrich1666

Ulrich1666 aktiv_icon

11:01 Uhr, 25.07.2021

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Ich danke dir fuer deine Hilfe und wuensch dir noch einen schoenen Sonntag!