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Zeige Geometrisches- größer arithmetisches Mittel

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Relation., Ungleichung

VanniWupp aktiv_icon

13:32 Uhr, 03.05.2015

Hallo liebe Mathefreunde,

ich habe folgendes Problem:

x, y

sind positiv

Arethmetiches Mittel:

A (x, y) = \frac{x + y}{2}

Geometrisches Mittel:

G (x, y) = \sqrt{x \cdot y}

Zeige dass:

G (x, y) \leq A (x, y)

Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.

Lg

Vanni Wupp

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Kasiaw aktiv_icon

13:35 Uhr, 03.05.2015

Hey. Du sollst die sog. AGM-Ungleichung beweisen. Schau vielleicht einfach mal hier:
http//de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel

Atlantik aktiv_icon

13:36 Uhr, 03.05.2015

\sqrt{x \cdot y} \leq \frac{x + y}{2}

...

.

mfG

Atlantik

Respon

13:40 Uhr, 03.05.2015

z . B

. direkter Beweis

{(x - y)}^{2} \geq 0

ist sicher eine wahre Aussage.

\Rightarrow

x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2} \geq 0

| + 4 \cdot x \cdot y

x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2} \geq 4 \cdot x \cdot y

{(x + y)}^{2} \geq 4 \cdot x \cdot y

x > 0 \land y > 0 \Rightarrow x + y > 0 \land 4 \cdot x \cdot y > 0

Wurzel auf beiden Seiten

x + y \geq 2 \cdot \sqrt{x \cdot y}

\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{x \cdot y}

Atlantik aktiv_icon

13:47 Uhr, 03.05.2015

War falsch!

mfG

Atlantik

Respon

13:57 Uhr, 03.05.2015

Geht man von der zu beweisenden Aussage aus, so sind ausschließlich Äquivalenzumformungen erlaubt.
Bei einem direkten Beweis genügen Implikationen.
Ebenso beim indirekten Beweis ( Voraussetzung: tertium non datur

!)

Indirekter Beweis.
Behauptung:

\sqrt{x \cdot y} \leq \frac{x + y}{2}

Angenommen es gelte

\sqrt{x \cdot y} > \frac{x + y}{2}

\Rightarrow

x \cdot y > \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}{4}

4 \cdot x \cdot y > x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}

0 > x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2})

0 > {(x - y)}^{2}

Widerspruch

\Rightarrow

Annahme war falsch

\Rightarrow

Gegenteil

(=

ursprüngliche Behauptung ) ist richtig.

VanniWupp aktiv_icon

14:15 Uhr, 03.05.2015

Vielen Dank für die schnellen Antworten!
Jetzt weiß ich auch, was ein indirekter Beweis ist :-)

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