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Zeige J beschränkt und linear

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Stetigkeit

Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Funktionentheorie, Norm, Stetigkeit

 
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Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

19:04 Uhr, 29.05.2020

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Sei eine Zerlegung Z:a=x0<x1<...<xn=b von [a,b]gegeben. Für α:=(α0,...,αn)n betrachten wir das Funktional Jα:C[a,b],Jα(f)=k=0nαkf(xk) auf den normierten Räumen (C[a,b],·),(,·).
(i) Zeige, dass Jα für jedes αn linear und beschrankt ist, und berechne die Norm Jα(C[a,b]) für jedes αn.
(ii) Untersuche, ob die Abbildung J:αJα stetig von n in (C[a,b])
ist und berechne in diesem Fall die Operatornorm von J. Hierbei verwenden wir auf n die 1-Norm ·1 und auf (C[a,b]) die Operatornorm.


Jede Idee wie der Beweis aussehen sollte , wäre hilfreich . (Ich verstehe nicht ganz diese Zerlegung. Zum ersten Mal sehe ich so eine Form .)


Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

19:17 Uhr, 29.05.2020

Antworten
Die Zerlegung ist doch die gleiche die für die Definition des Riemann-Integrals benutzt wird. Soll daher nicht so komisch vorkommen. Aber egal.

i) So, Linearität ist trivial. Beschränkt durch supfαk, was zu Vermutung führt, dass αk die Norm ist. Das stimmt und ist nicht schwer zu zeigen.

ii) Das ist eine interessantere Aufgabe. Aber die Formel für die Norm aus i) hilft, um die Operatorennorm zu berechnen.
Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

09:29 Uhr, 30.05.2020

Antworten
Hallo ,
Danke für die Antwort .
Ich hab noch eine Frage. Warum ist die Norm JαC[a,b]=αk?
Es gilt also αkf(xk)C[a,b]=αkf(xk)C[a,b]=akf(xk)C[a,b]. Wie geht das weiter ? Wie berechnest du f(xk)C[a,b]?
Danke
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:08 Uhr, 30.05.2020

Antworten
Eine Operatornorm wird selten direkt ausgerechnet, meistens geht es zuerst mal um eine Abschätzung und dann darum, wie man die Norm erreicht.

Konkret hier:
wir suchen supfC[a,b]:f1Jα(f).
Also, nehmen wir eine beliebige f aus C[a,b] mit f1, also mit maxx[a.b]f(x)1.
Wir haben Jα(f)kαkf(xk)maxx[a.b]f(x)kαkkαk.

Damit gezeigt, dass Jαkαk.

Jetzt brauchen wir eine konkrete Funktion f, bei der dieser Wert erreicht ist.
Wir konstruieren eine stetige Funktion auf [a,b], deren Werte zwischen -1 und 1 liegen und die die Eigenschaft hat f(xk)=sign(αk). Das ist klar, dass diese Funktion existiert, sie kann man einfach zeichnen.
Und für diese Funktion haben wir Jα(f)=kαkf(xk)=kαk.
Damit kann Jα<kαk nicht stimmen und es folgt Jα=kαk.