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Zeige J beschränkt und linear

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Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Funktionentheorie, Norm, Stetigkeit

 
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Mathe-Lo

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19:04 Uhr, 29.05.2020

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Sei eine Zerlegung Z:a=x0<x1<...<xn=b von [a,b]gegeben. Für α:=(α0,...,αn)∈ℝn betrachten wir das Funktional Jα:C[a,b]→ℝ,Jα(f)=∑k=0nαkf(xk) auf den normierten Räumen (C[a,b],∥·∥∞),(ℝ,∣·∣).
(i) Zeige, dass Jα für jedes α∈ℝn linear und beschrankt ist, und berechne die Norm ∥Jα∥(C[a,b])∗ für jedes α∈ℝn.
(ii) Untersuche, ob die Abbildung J:α→Jα stetig von ℝn in (C[a,b])∗
ist und berechne in diesem Fall die Operatornorm von J. Hierbei verwenden wir auf ℝn die 1-Norm ∥·∥1 und auf (C[a,b])∗ die Operatornorm.


Jede Idee wie der Beweis aussehen sollte , wäre hilfreich . (Ich verstehe nicht ganz diese Zerlegung. Zum ersten Mal sehe ich so eine Form .)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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DrBoogie

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19:17 Uhr, 29.05.2020

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Die Zerlegung ist doch die gleiche die für die Definition des Riemann-Integrals benutzt wird. Soll daher nicht so komisch vorkommen. Aber egal.

i) So, Linearität ist trivial. Beschränkt durch sup∣f∣⋅∑∣αk∣, was zu Vermutung führt, dass ∑∣αk∣ die Norm ist. Das stimmt und ist nicht schwer zu zeigen.

ii) Das ist eine interessantere Aufgabe. Aber die Formel für die Norm aus i) hilft, um die Operatorennorm zu berechnen.
Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

09:29 Uhr, 30.05.2020

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Hallo ,
Danke für die Antwort .
Ich hab noch eine Frage. Warum ist die Norm ∥Jα∥C[a,b]=∑∣αk∣?
Es gilt also ∥∑αkf(xk)∥C[a,b]=∣∑αk∣∥f(xk)∥C[a,b]=∑∣ak∣∥f(xk)∥C[a,b]. Wie geht das weiter ? Wie berechnest du ∥f(xk)∥C[a,b]?
Danke
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:08 Uhr, 30.05.2020

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Eine Operatornorm wird selten direkt ausgerechnet, meistens geht es zuerst mal um eine Abschätzung und dann darum, wie man die Norm erreicht.

Konkret hier:
wir suchen supf∈C[a,b]:∥f∥≤1∣Jα(f)∣.
Also, nehmen wir eine beliebige f aus C[a,b] mit ∥f∥≤1, also mit maxx∈[a.b]∣f(x)∣≤1.
Wir haben ∣Jα(f)∣≤∑k∣αk∣∣f(xk)∣≤maxx∈[a.b]∣f(x)∣∑k∣αk∣≤∑k∣αk∣.

Damit gezeigt, dass ∥Jα∥≤∑k∣αk∣.

Jetzt brauchen wir eine konkrete Funktion f, bei der dieser Wert erreicht ist.
Wir konstruieren eine stetige Funktion auf [a,b], deren Werte zwischen -1 und 1 liegen und die die Eigenschaft hat f(xk)=sign(αk). Das ist klar, dass diese Funktion existiert, sie kann man einfach zeichnen.
Und für diese Funktion haben wir Jα(f)=∑kαkf(xk)=∑k∣αk∣.
Damit kann ∥Jα∥<∑k∣αk∣ nicht stimmen und es folgt ∥Jα∥=∑k∣αk∣.