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Zeige Untervektorraum und Dimension

Universität / Fachhochschule

17:28 Uhr, 06.05.2008

Eine Matrix

A =

(a_ij) in

M (n x n, ℝ)

heißt symetrisch, falls a_ij =a_ji für alle

1 \leq i \leq j \leq n

gilt, und schiefsymetrisch, falls a_ij

= -

a_ji für alle

1 \leq i \leq j \leq n

gilt.

Sei

U^{+} := {A \in M (n x n, ℝ) : A

symetrisch

}

und

U^{-} := {A \in M (n x n, ℝ) : A

schiefsymetrisch

}

.

Zeige:

U^{+}, U^{-}

sind Untervektorräume von

M (n x n, ℝ)

und bestimme die Dimension von

U^{+}

und

U^{-}

17:42 Uhr, 06.05.2008

Zu zeigen ist

(z . B .)

die Summe zweier symmetrischer ist symmetrisch und sklare Vielfache symmetrischer sind symmetrisch.
Aber in der Tat folgt aus

a_{i, j} = a_{j, i}

und

b_{i, j} = b_{j, i}

sofort auch

a_{i, j} = a_{i, j} + b_{i, j} = a_{j, i} + b_{j, i}

.
Entsprechend für schiefsymmetrisch.

Für die Dimension beachte, dass eine symmetrische Matrix eindeutig durch die

a_{i, j}

mit

i \leq j

gegeben ist und hier auch beliebig vorgegeben werden kann.
eine Matrix aus

U^{-}

ist dagegen bereits durch die

a_{i, j}

mit

i < j

eindeutig bestimmt, da die Diagonalelemente 0 sein müssen.

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